[[TableOfContents]] [[미분방정식,differential_equation]] [[상미분방정식,ordinary_differential_equation,ODE]] = links = 참새 https://stementor.tistory.com/entry/%EC%B0%B8%EC%83%88%EC%99%80%ED%95%A8%EA%BB%98%ED%95%98%EB%8A%94-%EA%B8%B0%EC%B4%88-%EA%B3%B5%ED%95%99%EC%88%98%ED%95%99-2 공학이야기 lifelectronics https://lifelectronics.tistory.com/20?category=885103 = mathematical models = Moved to [[수학적모델,mathematical_model]] = Linear DE 여부 판별 예제 = $e^xy'+\cos(xy)y=\tan x$ $e^x$ 는 $x$ 에 대한 식이기 때문에 문제없는데, $\cos(xy)$ 때문에 ( $y$ 가 들어있으므로 ) Linear가 아님. $\sec(xy)y'=\sin x$ $\sec(xy)$ 때문에 nonlinear. $\ln(x)y''-y'^2=e^{3x}+1$ $y'$ 에 제곱이 붙어있으므로 nonlinear. ${e^x}^2y'''=\sec x^2$ linear. = 2.1 해곡선,solution_curve = qualitative_solution (질적인, 정성적인) 수식으로 풀어낼 수 없는 경우. analytic_solution 수식으로 풀어낼 수 있는 경우. 네 가지 다룰 해법은, separable DE linear DE exact DE substitution lineal_element : a line segment of the slope direction_field : the collection of all lineal elements autonomous first-order DEs (자율 일차 미방?) $y'=f(x,y)$ : autonomous first order DE if $f(x,y)$ is free of the independent variable 즉 독립변수 $x$ 의 영향을 안받는다, $f(x,y)$ 가 $y$ 만의 함수다. i.e. $y'=f(y)$ c is critical point = equilibrium point = stationary point = 안정점 if f(c)=0 [[평형점,equilibrium_point]] - 작성중 stable 어떤 시간 $t$ 이후에는 한 점 근처에 머무름 unstable asymtotically stable $t$ 가 커지면 그 점으로 수렴 (머물러 있기만 하는 걸로는 안됨) 그림에서 spiral으로 설명 ex. $\frac{dP}{dt}=P(a-bP)$ : 우변에 t가 없으므로, autonomous first order DE $P(a-bP)=f(P)$ 이 식이 0이 되도록 하는 P값이 critical point이므로, $P=0,\frac{a}{b}$ : critical points $P(t)=0 \mbox{ and } P(t)=\frac{a}{b}$ : equilibrium solutions = 2.2 Separable DEs (1) = 뭐에 대해 분리가 가능하냐면, '변수'에 대해서. 변수분리형미분방정식 일계미방 $y'=f(x,y)$ can be written as $\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)$ 그러면, the DE is called separable DE. $\frac1{h(y)}dy=g(x)dx,\mbox{ if }h(y)\ne0$ 이걸 어떻게 풀 것인가? $\frac1{h(y)}{\triangle\atop=}p(y)$ 라고 놓고, 해(solution)를 $y=\phi(x)$ 로 놓고, 위의 식 양변을 dx로 나누면 $\frac1{h(y)}\frac{dy}{dx}=p(y)\frac{dy}{dx}=g(x)$ 이다. $y'=\phi'(x)$ 이고, 양변에 x에 대한 적분을 취한다. $\frac{dy}{dx}=\phi'(x)$ $d\phi(x)=\phi'(x)dx$ 위에서 $p(y)\frac{dy}{dx}=g(x)$ 라고 했다. ⇒ $\int p(\phi(x))\phi'(x)dx=\int g(x)dx$ ⇒ $\int p(y)dy=\int g(x)dx$ ⇒ $P(y)=G(x)+C$ = 2.2 Separable DEs (2) = ex1) $(1+x)dy-ydx=0$ general sol) i) $y\ne0,x\ne-1$ $\int\frac1ydy=\int\frac1{1+x}dx$ $\ln|y|=\ln|1+x|+C$ : implicit sol. $y=C(1+x)$ : general sol. (explicit sol.) 엄밀하게는, 양변에 지수함수를 취하여 $|y|=e^C|1+x|$ $y=\pm e^C(1+x)$ 여기서 $\pm e^C$ 가 상수. ii) $y=0$ general sol.에서 C=0이면 y=0 ∴ singular sol.은 없다. ex2) $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y},\;y(4)=-3$ , particular sol.? sol) $\int ydy=-\int xdx$ $\frac12y^2=-\frac12x^2+C$ $x^2+y^2=C$ $x=4$ 대입하면 $C=25$ 인데, 이 문제에서는 $y<0$ 이므로 $y=-\sqrt{25-x^2}$ ex3) $\frac{dy}{dx}=y^2-4$ sol) i) $y\ne\pm2$ $\frac1{y^2-4}dy=dx$ $\left(\frac{1/4}{y-2}-\frac{1/4}{y+2}\right)dy=dx$ $\frac14\ln|y-2|-\frac14\ln|y+2|...$ $\frac14\ln\left|\frac{y-2}{y+2}\right|=x+C$ $\left|\frac{y-2}{y+2}\right|=Ce^{4x}$ $y=2\frac{1+ce^{4x}}{1-c^{4x}}$ : general sol., explicit sol. ii) y=2: take c=0 iii) y=-2: singular sol. ex4) $\cos x(e^{2y}-y)y'=e^y\sin(2x),\;y(0)=0$ IVP임. separable임. sol) $\frac{e^{2y}-y}{e^y}dy=\frac{\sin 2x}{\cos x}dx$ 우변의 $\sin 2x=2\sin x\cos x$ 이므로 $\frac{e^{2y}-y}{e^y}dy=2\sin xdx$ $e^y+ye^{-y}+e^{-y}=-2\cos x+C$ ([[부분적분,integration_by_parts]] 사용) x=0 대입: C=4 ∴ particular sol.: $e^y+ye^{-y}+e^{-y}=-2\cos x+4$ : implicit sol. = 2.3 Linear DEs (1) = 선형미분방정식 A first-order DE of the form $a_1(x)\frac{dy}{dx}+a_0(x)y=g(x)$ is said to be a first order linear DE in y homogeneous: g(x)=0 nonhomogeneous: g(x)≠0 standard form: 위의 식 양변을 $a_1(x)$ 로 나누어서 $\frac{dy}{dx}+p(x)y=f(x)$ 꼴로 표현한 것 $p$ and $f$ are continuous fts(functions) on an interval $I$ 이런 미분방정식의 general sol.은 합 $y_c+y_p$ 로 표현이 되는데 $y_c$ 는 homogeneous equation $y'+p(x)y=0$ 의 general solution. (homogeneous equation의 solution이다 라고 해서, $y_h$ 로 쓰기도 한다.) $y_p$ 는 $y'+p(x)y=f(x)$ 를 만족하는 솔루션 하나. p는 particular. 왜 그런가? ---- $L$ 이라는 [[연산자,operator]]를 써서 (선형연산자??) $Ly=\frac{dy}{dx}+p(x)y$ 같은 식을 쓸 수 있다. 여기서 $L$ 은 $L=D+p(x)$ 여기서 [[미분연산자,differentiation_operator]] $D=\frac{d}{dx}$ $Ly_c=0$ $Ly_p=f$ $L(y_c+y_p)=Ly_c+Ly_p=f$ ---- $y_c$ 를 구하고 이를 이용해서 $y_p$ 를 구하는데, 이 방법을 variation_of_parameters라고 함. 매개변수변환법. 가끔은 매개변수변화법? How can we solve this DE? 1. Solve the homogeneous DE that is separable: $y_c=Ce^{-\int p(x)dx}=Cy_1$ 2. Find a solution of nonhomogeneous DE $y_p$ that is independent with $y_c(x)$ . How can we get $y_p$ ? By variation of parameters ( $y_p(x)=u(x)y_1(x),$ $u(x)$ : not a constant ) = 2.3 Linear DEs (1-1) = y,,c,,를 구하기 1. Solve the homogeneous DE that is separable: $y_c:$ $\frac{dy}{dx}+p(x)y=0$ 변수분리하면 $\frac1ydy=-p(x)dx$ 적분하면 $\ln|y|=-\int p(x)dx$ $y_c=Ce^{-\int p(x)dx}=Cy_1$ y,,p,,를 구하기 참고로, y,,c,,와 y,,p,,는 independent해야 한다. 즉 $y_p=\alpha y_c$ (알파가 상수) 이면 안된다. 왜냐하면, 아까 $Ly=f$ 를 만족하는게 $y_p$ 라고 했었는데, $y_p$ 가 위와 같은 모양이면, linear 성질에 의해 $L(\alpha y_c)=\alpha L y_c=\alpha\cdot0=0$ 이므로 $y_p$ 는 $Ly=f$ 을 만족하지 않는다. 즉 particular solution이 아니라 homogeneous equation의 solution이 되버리는 것이다. 아무튼 상수가 아닌 $u(x)$ 를 구해낼 방법이 있다. 2. Find a solution of nonhomogeneous DE $y_p$ that is independent with $y_c(x)$ . $y_p:$ $y_p=u(x)y_1(x)$ 라 하고 (variation of parameters) 이를 $y'+p(x)y=f(x)$ 에 대입 $u'y_1+uy_1'+p(uy_1)=f$ 여기서 왼쪽의 두개 term은 y'임. ( $y'=u'y_1+uy_1'$ ) 두번째와 세번째 텀을 u로 묶으면 $u'y_1+u(y_1'+py_1)=f$ $u'y_1=f$ : separable $\int du=\int \frac{f(x)}{y_1}dx$ $u(x)=\int f(x)e^{\int p(x)dx}dx$ ∴ general solution: $y=y_c+y_p$ $=Ce^{-\int p(x)dx}+Ce^{-\int p(x)dx}\int f(x)e^{-\int p(x)dx}dx$ $=Ce^{-\int p(x)dx}\int f(x)e^{-\int p(x)dx}dx$ = 2.3 Linear DEs (2) = 그리하여 정리하면 Linear DEs - the solution of nonhomogeneous DE: $y_p=e^{-\int p(x)dx}\int e^{\int p(x)dx}f(x)dx$ - general solution of a first-order linear DE: $y=y_c+y_p=Ce^{-\int p(x)dx}+e^{-\int p(x)dx}\int e^{\int p(x)dx}f(x)dx$ or 묶어서 $y=e^{-\int p(x)dx}\int e^{\int p(x)dx}f(x)dx$ or $\frac{d}{dx}\left[e^{\int p(x)dx}y\right]=e^{\int p(x)dx}f(x)$ 뒤의 integral에서 나오는 상수는 무시하면 안된다 ex1) $\frac{dy}{dx}-3y=6$ separable? general sol. $y=Ce^{3x}-2$ sol) $p(x)=-3$ $f(x)=6$ $y=Ce^{\int 3dx}\int 6e^{-\int 3dx}dx$ $=e^{3x}(-2e^{-3x}+C)$ ex3) $(x^2-9)\frac{dy}{dx}+xy=0$ separable? general sol. $y=\frac{C}{\sqrt{x^2-9}}$ (의미를 갖는 구간, 즉 DE가 고려되는 구간은 x<-3, x>3) sol) If $x\ne\pm3,$ $\frac{dy}{dx}+\frac{x}{x^2-9}y=0,$ $p(x)=\frac{x}{x^2-9},$ $f(x)=0$ $y=Ce^{\int\frac{x}{x^2-9}dx}\int0\cdot e^{-\int\frac{x}{x^2-9}dx}dx$ $y=\frac{C}{\sqrt{x^2-9}}$ (this has meaning on x<-3, x>3, i.e. the DE is considered on the intervals) = 2.3 Linear DEs (3) = Nonelementary functions : antiderivatives cannot be expressed by elementary functions 예를 들어 $\int_0^\infty e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ 이다. error function: $\operatorname{erf}(x)=\frac2{\sqrt{\pi}}\int_0^xe^{-t^2}dt$ complementary error function: $\operatorname{erfc}(x)=\frac2{\sqrt{\pi}}\int_x^{\infty}e^{-t^2}dt$ $\operatorname{erf}(x)+\operatorname{erfc}(x)=1$ [[VG:오차함수,error_function]] ex6) $\frac{dy}{dx}-2xy=2,\;y(0)=1,$ particular solution $y=e^{x^2}(1+\sqrt{\pi}\mathrm{erf}(x))$ $\frac{dy}{dx}=\frac1{x+y^2}$ : not separable, not linear in y $\frac{dx}{dy}=x+y^2$ $\frac{dx}{dy}-x=y^2$ : linear in x general solution: $x=-y^2-2y-2+Ce^y$ 구체적으로 쓰면 (강의내 파란색 필기에서는) $p(y)=-1$ $f(y)=y^2$ $x(y)=e^{\int 1dy}\int y^2 e^{-\int dy}dyf(y)=y^2$ = 2.4 Exact DEs (1) = [[완전미분방정식,exact_DE]] A differential expression $M(x,y)dx+N(x,y)dy$ 을 '''exact differential'''(완전 미분)이라고 부른다. in a region $R$ of the xy-plane if $\exists f\mbox{ s.t. }\frac{\partial f}{\partial x}=M(x,y)\mbox{ and }\frac{\partial f}{\partial y}=N(x,y)$ $f$ 는 다변수함수. Def. A first-order DE of the form $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ : exact DE if $M(x,y)dx+N(x,y)dy$ : exact differential If $z=f(x,y)$ , then the [[VG:전미분,total_differential]] is given by $dz=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy$ ∴ $f(x,y)=C\qquad \Leftrightarrow\qquad \frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy=0$ 이런 1계 미분방정식으로 표현 How can get the solution of an exact DE? 1. Find $f(x,y)$ by $f(x,y)=\int M(x,y)dx+g(y)$ or $f(x,y)=\int N(x,y)dy+g(x)$ 2. Find $g(y)$ by $\frac{\partial f}{\partial y}=N(x,y)$ or $g(x)$ by $\frac{\partial f}{\partial x}=M(x,y)$ ⇒ Sol. $f(x,y)=C$ (C: const.) = 2.4 Exact DEs (2) = Thm 2.1 $M(x,y)\mbox{ and }N(x,y)$ : continuous and have continuous first partial derivatives in $R=\lbrace(x,y):\;a