확률변수,random_variable


Twin:




정의.
두 가측공간,measurable_space $\displaystyle (\Omega_1,\mathcal{A}_1)\textrm{ and }(\Omega_2,\mathcal{A}_2)$ 가 있다 하자.
가측공간이란 두 집합의 쌍인데 다음 조건을 만족하는 것.
  1. $\displaystyle \Omega$ 는 공집합이 아님.
  2. $\displaystyle \mathcal{A}$ 의 원소들은 $\displaystyle \Omega$ 의 부분집합들.
  3. $\displaystyle \Omega$ 와 공집합 둘 다 $\displaystyle \mathcal{A}$ 의 원소들.
  4. $\displaystyle \mathcal{A}$ 는 complement(complement, ie 여집합연산)와 countable union(i.e. 가산 번의 합집합연산)에 대해 닫혀 있음.
이 때 확률변수,random_variable $\displaystyle X$ 란, $\displaystyle \Omega_1$ 에서 $\displaystyle \Omega_2$ 로 가는 가측함수,measurable_function이다.
$\displaystyle X:\Omega_1\to\Omega_2$
확률변수는 일반적으로 로마자 $\displaystyle X,Y,Z,T$ 등으로 표시한다.
확률변수는 이산적이거나 연속적일 수 있다.

여기서
$\displaystyle \Omega_1$ 은 표본공간,sample_space이라 하며,
집합
$\displaystyle \mathcal{A}_1$ 은 사건공간,event_space이라 한다.
}



확률변수란,
확률공간,probability_space $\displaystyle (S,\mathbb{S},P)$ 에서
가측공간,measurable_space $\displaystyle (S',\mathbb{S}')$ (known as 상태공간,state_space)
으로 가는 가측함수,measurable_function이다.
(Doob 1996)

약간 다른 정의는
확률변수 $\displaystyle X$ 란,
실함수,real_function이면서
정의역,domain은 확률공간,probability_space $\displaystyle S$ 이고, such that:
  1. 집합 $\displaystyle \left\lbrace X\le x\right\rbrace$ 은 임의의 실수 $\displaystyle x$ 에 대한 사건,event이다.
  2. 두 사건 $\displaystyle \lbrace X=+\infty\rbrace$ 그리고 $\displaystyle \lbrace X=-\infty\rbrace$ 에 대한 확률,probability은 0이다.
(Papoulis 1984)

} (MathWorld 확률변수 정의)


확률변수,random_variable Modified on 10:33 am, March 9, 2024.
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