#noindex Up: [[OnlineLectures]] ---- 다변수미분적분학 덕성여자대학교 최성우 (2013) http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=732551 <> = Lec 1.1 강의 내용 소개 및 벡터의 곱들 - 다변수미분적분학의 소개, 벡터, 공간기하 = Stewart 에서 다음 chapter를 다루겠다. 12 Vectors and the Geometry of Space (이건 여러분들이 알아서 대충. 앞부분은 빨리 나간다) 13 Vector Functions 14 Partial Derivatives 15 Multiple Integrals 16 Vector Calculus 를 다룸. 5:30 여러분들이 다뤘었던 것은 일변수함수 $y=f(x),\;\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ x는 독립변수 y는 종속변수인 그거. 이게 여러개가 될 수 있는 상황을 생각하자. 예를 들면 독립변수가 여러개인 $y=f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 이런 걸 [[다변수함수,multivariable_function]] $\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ 이라 한다. 근데 종속변수가 여러개인 상황도 생각할 수 있다. $\left( f_1(x_1,\cdots,x_n),\,f_2(x_1,\cdots,x_n),\,\cdots,f_m(x_1,\cdots,x_n) \right)$ 각각 $(y_1,y_2,\cdots,y_m)$ 이게 가장 일반적인형태이며 $\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ 다변수벡터함수 로 부를 수도 있다. 다변수미적을 할 수 있다는 얘기는 [[미분기하학,differential_geometry]](3학년)을 할 수 있다는 것 그걸 할 수 있다는 얘기는 [[공간,space]]을 다룰 수 있다는 것 - [[물리학,physics]] [[화학,chemistry]] [[생물학,biology]] ... [[전자기학,electromagnetism]] ... 을 할 수 있다는 것 - 자연과학의 뼈대가 된다. 그리고 그게 [[공학,engineering]] [[사회과학,social_science]]...에도 응용. 과목의 최종 목표는 [[스토크스_정리,Stokes_theorem]]. 이건 [[미적분학의기본정리,FTC]]{ [[VG:미적분학의기본정리,FTC]] Ggl:미적분학의기본정리 } 의 다변수로의 일반화. 12장. Vectors and the Geometry of Space (표준) 직교좌표계 (Cartesian coordinates) https://i.imgur.com/SrVQ6C4.png [[벡터,vector]]: * (방향, 크기)가 있는 것. * (시점, 종점)이 있는 것. vecotr를 정하려면 * 두 점 * 한 점 + 원점 vector의 [[내적,inner_product]] 정의 언급. skip. 기하학적 의미 언급, $\vec{v_1},\vec{v_2}$ 사잇각이 $\theta$ 라면 $\vec{v_1}\cdot\vec{v_2}=|\vec{v_1}| \, |\vec{v_2}| \, \cos\theta$ $\vec{v_1}\cdot\vec{v_2}=0 \;\Longleftrightarrow\; \vec{v_1},\vec{v_2}:\text{orthogonal}$ (내적의 값이 0이면 두 벡터는 수직) ( $\vec{v_1}\bot\vec{v_2}$ ) vector의 [[외적,outer_product]] 정의 skip. 기하학적 의미 https://i.imgur.com/j04zKNJ.png 방향: 오른손 나사법칙 크기: $\left| \vec{v_1}\times\vec{v_2} \right| = |\vec{v_1}|\,|\vec{v_2}|\,\sin\theta$ $\vec{v_1}\times\vec{v_2}=0 \;\Longleftrightarrow\; \vec{v_1},\vec{v_2}: \text{parallel}$ (외적의 값이 0이면 두 벡터는 평행) ( $\vec{v_1}\parallel\vec{v_2}$ ) 내적: 교환법칙 성립. // [[commutativity]] 외적: 교환법칙 성립 안함. (anticommutative) // [[anticommutativity]] Ggl:anticommutativity 사실 $\vec{v_2}\times\vec{v_1}=-\vec{v_1}\times\vec{v_2}$ [[삼중곱,triple_product]] $\vec{v_1}=(a_1,b_1,c_1)$ $\vec{v_2}=(a_2,b_2,c_2)$ $\vec{v_3}=(a_3,b_3,c_3)$ 일 때 $\vec{v_1}\cdot(\vec{v_2}\times\vec{v_3})=\det\begin{pmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{pmatrix}$ 그리고 $\vec{v_1}\cdot(\vec{v_2}\times\vec{v_3})$ $=\vec{v_2}\cdot(\vec{v_3}\times\vec{v_1})$ $=\vec{v_3}\cdot(\vec{v_1}\times\vec{v_2})$ 이렇게 cyclic하게 해도 성립. ([[행렬식,determinant]]의 성질) 참고로 $\vec{v_1}\cdot(\vec{v_3}\times\vec{v_2})=\vec{v_3}\cdot(\vec{v_2}\times\vec{v_1})=\vec{v_2}\cdot(\vec{v_1}\times\vec{v_3})=-\vec{v_1}\cdot(\vec{v_2}\times\vec{v_3})$ ''(위에 anticommutativity 생각하면 바로 왜인지 나옴)'' 기하학적 의미는 https://i.imgur.com/tR8TW9S.png ([[평행육면체,parallelepiped]]) [[부피,volume]] $\vec{v_3}\cdot(\vec{v_1}\times\vec{v_2})=|\vec{v_3}|\cdot|\vec{v_1}\times\vec{v_2}|\cdot\cos\theta$ https://i.imgur.com/rjK6A6R.png = Lec 1.2 벡터함수의 미분과 적분 - 벡터함수의 미분과 적분 = = Lec 2.1 다변수함수의 극한 - 곡선의 길이, 다변수함수의 극한 = = Lec 2.2 다변수함수의 연속과 편미분 - 다변수함수의 연속, 편미분의 정의와 계산 = = Lec 3.1 접평면과 다변수함수의 미분가능성 - 접평면, 일차근사, 미분가능성 = = Lec 3.2 다변수함수의 연쇄법칙 - 다변수함수의 연쇄법칙 = = Lec 4.1 방향미분과 극대,극소 - 방향미분과 gradient, 극대, 극소 = = Lec 4.2 다변수함수의 정적분의 정의와 편적분 - Hessian을 이용한 극대, 극소, 안장점 판별법, 직사각영역에서의 정적분 = = Lec 5.1 일반적인 영역에서의 이중적분 - 일반적인 영역에서의 이중적분 = = Lec 5.2 극좌표를 이용한 이중적분 - 극좌표를 이용한 이중적분 = = Lec 6.1 삼중적분 - 직육면체, Type I, II, III 영역에서의 적분, 원통형좌표계를 이용한 삼중적분 = = Lec 6.2 구면좌표계를 이용한 삼중적분 - 구면좌표계를 이용한 삼중적분 = = Lec 7.1 다중적분에서의 변수치환 - 다중적분에서의 변수치환 = = Lec 7.2 중간고사 대비 문답 - 중간고사 대비 문답 = = Lec 8 중간고사 - 중간고사, 중간고사 문제풀이 = = Lec 9.1 벡터장과 선적분 - 벡터장과 포텐셜 함수, 선적분의 정의와 계산 = = Lec 9.2 선적분의 응용과 3차원으로의 확장 - 선적분의 응용과 3차원으로의 확장 = = Lec 10.1 벡터장의 선적분 - 벡터장의 선적분 = = Lec 10.2 선적분의 기본정리, gradient vector field의 성질 - 선적분의 기본정리, gradient vector field의 성질 = = Lec 11.1 potential 함수 구하는 법, Green 정리 - potential 함수 구하는 법, Green 정리 = = Lec 11.2 일반적인 영역에서의 Green 정리 - 일반적인 영역에서의 Green 정리 = = Lec 12.1 curl과 divergence - 3차원 vector field의 curl과 divergence = = Lec 12.2 Green 정리의 다른 형태들, 매개변수곡면 - Green 정리의 다른 형태들, 매개변수곡면 = = Lec 13.1 곡면의 면적과 scalar 함수의 면적분 - 3차원 곡면의 면적, scalar 함수의 면적분, 3차원 곡면의 orientation = = Lec 13.2 vector field의 flux integral - vector field의 flux integral = = Lec 14 Stokes 정리 - Stokes 정리 = Stokes_theorem = Lec 15.1 divergence 정리와 그 응용 - divergence 정리와 그 응용 = = Lec 15.2 기말고사 대비 문답 - 기말고사 대비 문답 = = Lec 16 기말고사 - 기말고사, 기말고사 문제풀이 =