변위에 비례하는 복원력 즉 탄성력
$\displaystyle -kx=m\frac{d^2x}{dt^2}$
$\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}+\frac{k}{m}x=0$
(2차 선형 미분방정식)
여기서 $\displaystyle \omega^2=\frac{k}{m},\,\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$
$\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}+\omega^2 x=0$
잠시 $\displaystyle x=\cos \omega t$ 라고 추정해보면
$\displaystyle x'=-\omega\sin\omega t$
$\displaystyle x''=-\omega^2\cos\omega t=-\omega^2 x$
그러면 식이 성립함을 알 수 있다.
일반적으로 미방 풀이를 하면
$\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}+\omega^2 x=0$
Try
$\displaystyle x(t)=e^{\lambda t}$ 그러면
$\displaystyle \frac{dx}{dt}=\lambda e^{\lambda t}$
$\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}=\lambda^2 e^{\lambda t}$
$\displaystyle \lambda^2 e^{\lambda t}+\omega^2 e^{\lambda t}=0$
$\displaystyle \lambda^2 + \omega^2=0$
$\displaystyle \lambda=\pm\sqrt{-\omega^2}=\pm\omega i$
이것을 위의
$\displaystyle x(t)=e^{\lambda t}$ 에 대입하면
$\displaystyle x(t)=e^{\pm i\omega t}$
인데 이것보단 이것의 선형조합(linear combination)인
$\displaystyle x(t)=\alpha e^{i\omega t}+\beta e^{-i \omega t}$
초기조건을 $\displaystyle t=0\to x(0)=x_0,v(0)=0$ 로 하면
$\displaystyle v(t)=\frac{dx}{dt}=i\omega\alpha e^{i\omega t}-i\omega\beta e^{-i\omega t}$
$\displaystyle t=0$ 을 집어넣어 초기조건을 구하면
$\displaystyle x(0)=\alpha+\beta=x_0$
$\displaystyle v(0)=i\omega(\alpha-\beta)=0$
따라서 $\displaystyle \alpha=\beta$ 이고 $\displaystyle \alpha=\beta=\frac{x_0}{2}$
이것을 대입하면
$\displaystyle x(t)=x_0\frac{e^{i\omega t}+e^{-i\omega t}}{2}=x_0\cos\omega t$
참고로
$\displaystyle e^{\pm i\omega t}=\cos\omega t\pm i\sin\omega t$
$\displaystyle \cos\omega t=\frac{e^{i\omega t}+e^{-i\omega t}}{2}$
$\displaystyle \sin\omega t=\frac{e^{i\omega t}-e^{-i\omega t}}{2i}$