branch of [[과학,science]] concerned with the nature and properties of [[물질,matter]] and [[에너지,energy]],
seeking to understand the fundamental [[원리,principle]]s governing the [[유니버스,universe]][* https://youtu.be/jVyPZgA7ifU?si=iWBgJgXkqi-xVM4y&t=17]

<<tableofcontents>>

= 1차원 등속/등가속 운동방정식을 미방으로 구하기 =
from 차동우 http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=324218 운동을 기술하는 방법 (3) 22min

$x(t)=x_0+vt$ 를 미방이 나오는 복잡한 방법으로 구하기

1차원 등속운동은
 $v=\frac{dx}{dt}$ (= 일정)
 $dx=v\,dt$
 $\int dx=\int vdt$
 $\int_{x(0)}^{x(t)} dx=\int_0^t vdt$
좌변은
 $[x]_{x(0)}^{x(t)}$
우변은, $v$ 가 상수이므로
 $v\int_0^t dt=v[t]_0^t=vt$
$x(0)\to x_0$ 로 쓰고, 좌변=우변 식을 다시 쓰면
 $[x]_{x_0}^{x(t)}=x(t)-x_0=vt$
따라서
 $x(t)=vt+x_0$

----
1차원 등가속운동은
$a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2}$ (=일정)

$\frac{d^2x}{dt^2}=a$ 이 미방을 풀면 된다.
근데 다음 두 미방이 같은 것이고
 $\frac{dv}{dt}=a \;\Leftrightarrow\; \frac{dx}{dt}=v$
우변은 아까 구한 답이 $x(t)=vt+x_0$ 였으므로 변수 글자만 바꾸면 i.e. $x\to v,v\to a$ 치환하면
 $v(t)=at+v_0 \;\Leftrightarrow\; x(t)=vt+x_0$

 $v=\frac{dx}{dt}=at+v_0$
 $dx=(at+v_0)dt$
 $\int_{x_0}^{x(t)} dx=\int_0^t (at+v_0)dt$
 $[x]_{x_0}^{x(t)}=\left[\frac12 at^2+v_0t\right]_0^t$
따라서
 $x(t)=\frac12at^2+v_0t+x_0$

= F=ma와 F=dp/dt 의 차이 =
[[VG:운동량,momentum]] 관련이지만 좀 잡다한 내용이라 저기보다 여기에 적음.
from http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=324218 차동우 물리1  여러 물체의 운동 (1) 39min

 $\mathrm{(A)}\; m\frac{d\vec{v}}{dt}=\vec{F}$
 $\mathrm{(B)}\; \frac{d\vec{p}}{dt}=\vec{F}$
이것은 엄밀히는 같지 않다. (A) 식은
 $\frac{d}{dt}(m\vec{v})=\frac{dm}{dt}\vec{v}+m\frac{d\vec{v}}{dt}$
이므로
 $\frac{dm}{dt}=0$ 이어야, 즉 질량이 변하지 않아야 (A)와 (B)가 같다.
따라서 (B) 식이 더 일반적인, 옳은, 질량이 변할 때도 성립하는 식이다.

= -kx=F=ma 에서 진동 관련 식을 이끌어내기 / 탄성력을 가지면 단순조화진동을 하는 이유 =
변위에 비례하는 복원력 즉 탄성력

$-kx=m\frac{d^2x}{dt^2}$
$\frac{d^2x}{dt^2}+\frac{k}{m}x=0$
(2차 선형 미분방정식)
여기서 $\omega^2=\frac{k}{m},\,\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$
$\frac{d^2x}{dt^2}+\omega^2 x=0$
----
잠시 $x=\cos \omega t$ 라고 추정해보면
$x'=-\omega\sin\omega t$
$x''=-\omega^2\cos\omega t=-\omega^2 x$
그러면 식이 성립함을 알 수 있다.
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일반적으로 미방 풀이를 하면
$\frac{d^2x}{dt^2}+\omega^2 x=0$
Try
 $x(t)=e^{\lambda t}$ 그러면
 $\frac{dx}{dt}=\lambda e^{\lambda t}$
 $\frac{d^2x}{dt^2}=\lambda^2 e^{\lambda t}$
$\lambda^2 e^{\lambda t}+\omega^2 e^{\lambda t}=0$
$\lambda^2 + \omega^2=0$
$\lambda=\pm\sqrt{-\omega^2}=\pm\omega i$
이것을 위의 $x(t)=e^{\lambda t}$ 에 대입하면
$x(t)=e^{\pm i\omega t}$
인데 이것보단 이것의 선형조합(linear combination)인
$x(t)=\alpha e^{i\omega t}+\beta e^{-i \omega t}$

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독립변수가 시간(t)이면 (t=0일 때의 x(0), v(0) 같은 것?)을 초기조건(initial condition)이라 함.
독립변수가 공간(x?)이면 ()을 경계조건(boundary condition)이라 함. 전자기학에 나옴.
(from 차동우 물리1  http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=324218 11. 진동 (2) 28min)
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초기조건을 $t=0\to x(0)=x_0,v(0)=0$ 로 하면
$v(t)=\frac{dx}{dt}=i\omega\alpha e^{i\omega t}-i\omega\beta e^{-i\omega t}$

$t=0$ 을 집어넣어 초기조건을 구하면
$x(0)=\alpha+\beta=x_0$
$v(0)=i\omega(\alpha-\beta)=0$
따라서 $\alpha=\beta$ 이고 $\alpha=\beta=\frac{x_0}{2}$

이것을 대입하면
$x(t)=x_0\frac{e^{i\omega t}+e^{-i\omega t}}{2}=x_0\cos\omega t$
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참고로
$e^{\pm i\omega t}=\cos\omega t\pm i\sin\omega t$
$\cos\omega t=\frac{e^{i\omega t}+e^{-i\omega t}}{2}$
$\sin\omega t=\frac{e^{i\omega t}-e^{-i\omega t}}{2i}$
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= 단순조화진동/감쇠진동/강제진동 중에 감쇠진동 =
단순조화진동 $F_k=-kx$
감쇠진동 $F_k=-kx,f=-bv=-b\frac{dx}{dt}$
 마찰력(f)을 받아 진폭이 점점 줄어듦
 마찰력은 속도(v)에 비례
강제진동 $F_k=-kx,f=-b\frac{dx}{dt},F_d=F_0 \cos \omega_0 t$
 외부에서 밀어주는 힘이 있음 ex. 그네

그리하여, 감쇠진동을 분석하려면
 $F=m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx-b\frac{dx}{dt}$
 $\frac{d^2x}{dt^2}+2\gamma\frac{dx}{dt}+\omega^2x=0$
  $2\gamma=\frac{b}{m},\; \omega^2=\frac{k}{m}$
 $x(t)=e^{\lambda t}$
 $\lambda^2 e^{\lambda t}+2\gamma\lambda e^{\lambda t}+\omega^2 e^{\lambda t}=0$
 $\lambda^2 + 2\gamma\lambda+\omega^2=0$
 $\lambda=-\gamma\pm\sqrt{\gamma^2-\omega^2}$
 $\lambda_1=-\gamma+\sqrt{\gamma^2-\omega^2}$
 $\lambda_2=-\gamma-\sqrt{\gamma^2-\omega^2}$
 $x(t)=\alpha e^{\lambda_1 t}+\beta e^{\lambda_2 t}$
  $=e^{-\gamma t}\left[\alpha e^{+\sqrt{\gamma^2-\omega^2}t}+\beta e^{-\sqrt{\gamma^2+\omega^2}t}\right]$

(1) $\omega>\gamma$ 작은감쇠진동
 $\omega^2-\gamma^2=\omega_1^2$
 $\sqrt{\gamma^2-\omega^2}=\sqrt{-\omega_1^2}=i\omega_1$
 $\lambda_1=-\gamma+i\omega_1$
 $\lambda_2=-\gamma-i\omega_1$
 $x(t)=e^{-\gamma t}\left[ \alpha e^{i\omega_1 t} +\beta e^{-i\omega_1 t} \right]$
  $=e^{-\gamma t}\left[ A\cos\omega_1 t + B\sin\omega_1 t \right] \;\; (A=\alpha+i\beta, B=\alpha-i\beta)$
  $=\sqrt{A^2+B^2} e^{-\gamma t} \left[ -\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\cos\omega_1 t+\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\sin\omega_1 t \right]$

(2) $\omega=\gamma$ 임계진동 (임계감쇠진동)
 $\lambda_1=-\gamma,\lambda_2=-\gamma$

 $x(t)=\alpha e^{-\gamma t}+\beta t e^{-\gamma t}$
  $=(\alpha+\beta t) e^{-\gamma t}$

(3) $\omega<\gamma$ 과잉감쇠진동
 $\gamma^2-\omega^2=\omega_2^2$
 $\lambda_1=-\gamma+\omega_2, \lambda_2=-\gamma-\omega_2$

 $x(t)=e^{-\gamma t}\left[ \alpha e^{+\omega_2 t} + \beta e^{-\omega_2 t} \right]$

[[VG:단순조화진동,simple_harmonic_oscillation]]
[[VG:진동,oscillation,vibration]]

= 파동 =
from 차동우 물리1 http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=324218 12. 파동 (1) 39분

일단
 $\frac1T=f,\frac{2\pi}{T}=\omega=2\pi f$ ([[VG:각진동수,angular_frequency]]. 단위 시간(주기)당 파동수?)
 $\frac1{\lambda}=?,\frac{2\pi}{\lambda}=k$ ([[VG:파수,wavenumber]]. 단위 길이(파장)당 파동수?)

$t$ 를 고정하면
 $y(x)=A\sin\left( \frac{2\pi}{\lambda} x \right)$

$x$ 를 고정하면
 $y(t)=A\sin\left( \frac{2\pi}{T} t \right)$

같이 쓰면
 $y(x,t)=A\sin\left( \frac{2\pi}{\lambda}x - \frac{2\pi}{T}t \right)$
  $=A\sin(kx-\omega t)$
여기서 sin 안에 들어 있는 것을 [[VG:위상,phase]]이라고 한다. 위상은 차원이 없다. ( $x,\lambda$ 둘다 길이이고 $t,T$ 둘다 시간 )

[[VG:파동,wave]]
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