일반적으로 [[변화,change]]에 대한 설명...
 특히 [[독립변수,independent_variable]]가 시간, [[종속변수,dependent_variable]]가 시간에 대한 함수일 때.

차분과 미분
||[[차분,difference]]   ||유한한 difference([[차이,difference]])          ||이산적 ([[이산성,discreteness]]) ||
||'''미분,derivative''' ||극단적으로 작은 ...([[무한소,infinitesimal]] ?) ||연속적 ([[연속성,continuity]]) ||

----
AKA [[도함수,derivative]] =도함수,derivative =,derivative 도함수 derivative
{
The '''derivative''': rate of change of function $f$ with respect to an independent variable $x$ [* https://youtu.be/-NhgElcA3K8?si=6NoXelQGVLxGGZC9 앞부분]
 $\frac{df}{dx}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Derivative
[[WpSp:Derivative_(mathematics)]] = https://simple.wikipedia.org/wiki/Derivative_(mathematics)
https://calculus.subwiki.org/wiki/Derivative
[[MW:Derivative]] = https://mathworld.wolfram.com/Derivative.html

Sub:
[[일계도함수,first_derivative]] =일계도함수,first_derivative =,first_derivative 일계도함수 first_derivative
{
first derivative

WtEn:first_derivative = https://en.wiktionary.org/wiki/first_derivative x [[Date(2023-11-14T18:46:36)]]

Sub:
[[일계도함수판정법,first_derivative_test]] =일계도함수판정법,first_derivative_test =,first_derivative_test 일계도함수판정법 first_derivative_test
{
first derivative test = 일계도함수판정법 (KMS)

...
"일계 도함수 판정법"
Naver:"일계 도함수 판정법"
Ggl:"일계 도함수 판정법"
Naver:"first derivative test"
Ggl:"first derivative test"
} // first derivative test

...
일계도함수
Naver:일계도함수
Ggl:일계도함수
"first derivative"
Naver:"first derivative"
Ggl:"first derivative"
} // 일계도함수 first derivative

[[이계도함수,second_derivative]] =이계도함수,second_derivative =,second_derivative 이계도함수 second_derivative
{
'''second derivative'''
'''이계도함수''' (KMS)
KmsK:이계도함수 : {"second derivative	이계도함수" / "second order derivatives	이계도함수" }

[[WtEn:second_derivative]] = https://en.wiktionary.org/wiki/second_derivative
...
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3338331&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 이계도함수]]
Ndict:이계도함수
Ggl:이계도함수
Ggl:"second derivative"

Sub:
[[이계도함수판정법,second_derivative_test]] =이계도함수판정법,second_derivative_test =,second_derivative_test 이계도함수판정법,second_derivative_test
{
이계 도함수 판정법
"second derivative test = 이계도함수 판정법" (KMS)

...
"이계 도함수 판정법"
Ndict:"이계 도함수 판정법"
Ggl:"이계 도함수 판정법"
} // second derivative test

} // second derivative

[[logarithmic_derivative]] =,logarithmic_derivative =,logarithmic_derivative . logarithmic_derivative
{
logarithmic derivative
https://en.wiktionary.org/wiki/logarithmic_derivative
[[WpEn:Logarithmic_derivative]] = https://en.wikipedia.org/wiki/Logarithmic_derivative
https://ja.wikipedia.org/wiki/対数微分
 i.e. 로그미분

Rel
[[WpEn:Logarithmic_differentiation]] = https://en.wikipedia.org/wiki/Logarithmic_differentiation
https://ja.wikipedia.org/wiki/対数微分法
 i.e. 로그미분법
[[VG:로그함수%2Clogarithmic_function#s-4]]

} // logarithmic derivative

----
wikiadmin
Page name via KmsE:derivative KmsK:도함수 [[Date(2023-11-14T18:46:36)]]
}
----
Sub:
[[전미분,total_derivative]]
[[편미분,partial_derivative]]

[[TableOfContents]]

= 어떤 점에서 함수의 미분 =
[[함수]] $f$ 의 [[점]] $a$ 에서의 [[순간변화율]]은, $f$ 의 $a$ 에서의 [[미분]]이라 불리며, $f'(a)$ 로 표기하고, 다음과 같다.
 $f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

= [[상수함수,constant_function]]의 미분, Derivative of a constant function =
$\frac{d}{dx}(c)=0$

= [[항등함수,identity_function]]의 미분 =
$\frac{d}{dx}(x)=1$

그런데,

$\frac{d}{dx}(x^2)=2x$
$\frac{d}{dx}(x^3)=3x^2$
 $\vdots$

[[일반화,generalization]]하면,

= power function의 미분 =
[[power_function]]의 '''미분,derivative''':
$\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}$

n이 자연수 뿐만이 아니라
 정수일 때,
 실수일 때도 성립

= constant multiple rule =
c가 상수이고 f가 미분가능한 함수라면,
$\frac{d}{dx}\left[cf(x)\right]=c\frac{d}{dx}f(x)$

= 합의 미분 sum rule =
f와 g가 모두 미분가능한 함수라면,
$\frac{d}{dx}\left[f(x)+g(x)\right]=\frac{d}{dx}f(x)+\frac{d}{dx}g(x)$

증명
Let $F(x)=f(x)+g(x)$
$F'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}$
 $=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x)}{h}$
 $=\lim_{h\to 0}\left(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right)$
 $=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\lim_{h\to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}$
 $=f'(x)+g'(x)$

항이 세 개 이상일 땐,
$(f+g+h)'=((f+g)+h)'=(f+g)'+h'=f'+g'+h'$

= 차의 미분 difference rule =
$\frac{d}{dx}\left[f(x)-g(x)\right]=\frac{d}{dx}f(x)-\frac{d}{dx}g(x)$

= 곱의 미분 product rule =

= 나누기의 미분 quotient rule =
$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$

= [[삼각함수_미분,derivative_of_trigonometric_function]] =
So far..
 [[sin_x_미분_증명]]
 [[cos_x_미분_증명]]
 [[tan_x_미분_증명]]

See [[VG:삼각함수_미분표]] (for future updates)

= ln x의 미분 =
정의에 의해
 $e^{\ln x}=x$
양변을 미분하면
 $\frac{d}{dx}(e^{\ln x})=1$
[[VG:연쇄법칙,chain_rule]]을 쓰면 // [[연쇄법칙,chain_rule]]보단 [[연쇄규칙,chain_rule]] ? 암튼 [[chain_rule]]
 $e^{\ln x}\cdot\frac{d}{dx}(\ln x)=1$
따라서
 $\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{e^{\ln x}}=\frac{1}{x}$

결론
 $\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac1{x}$

= 합성함수의 미분법 =
$y=f(u),\,u=g(x)$ 가 미분 가능하면
 $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=f'(g(x))g'(x)$

rel [chain_rule]

= 매개변수로 표현된 함수의 미분법 =
$x=f(t),\,y=g(t)$ 일 때
 $\frac{dy}{dx}=\frac{\;\frac{dy}{dt}\;}{\;\frac{dx}{dt}\;}=\frac{g'(t)}{f'(t)}$

= 음함수의 미분법 =
합성함수의 미분법을 이용하여 양변을 미분한 후 $y'$ 에 대해 정리

= 역함수의 미분법 =
$y=f(x)$ 가 미분가능하고 $f(a)=b$ 일 때
 $(f^{-1})'(b)=\frac1{f'(f^{-1}(b))}=\frac1{f'(a)}$

## 이상 네개는 from 고등학교고급미적분학 p58

----
Twins:
 [[VG:미분,derivative]]

= wikiadmin =
pagename [[도함수,derivation]] 로 바꿀까? RENAMETHISPAGE? 아님 저 페이지 만들까? - 만든다면 용도 분리는?

KWs: [[derivation]] =,derivation . derivation
{
데리베이션 Ggl:데리베이션 Naver:데리베이션  Ndict:데리베이션
(혹시 데리배이션 ?)
kornorms derivation : None - 2023-11-11

번역은
유도 파생 파생(물) .... NdEn:derivation

KmsE:derivation Ndict:derivation WtEn:derivation WpEn:derivation Ggl:derivation
}