[[TableOfContents]]

= 어떤 점에서 함수의 미분 =
[[함수]] $f$ 의 [[점]] $a$ 에서의 [[순간변화율]]은, $f$ 의 $a$ 에서의 [[미분]]이라 불리며, $f'(a)$ 로 표기하고, 다음과 같다.
 $f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

= [[상수함수,constant_function]]의 미분, Derivative of a constant function =
$\frac{d}{dx}(c)=0$

= [[항등함수,identity_function]]의 미분 =
$\frac{d}{dx}(x)=1$

그런데,

$\frac{d}{dx}(x^2)=2x$
$\frac{d}{dx}(x^3)=3x^2$
 $\vdots$

일반화하면,

= power_function의 미분 =
$\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}$

n이 자연수 뿐만이 아니라 정수일때, 실수일때도 성립

= constant multiple rule =
c가 상수이고 f가 미분가능한 함수라면,
$\frac{d}{dx}\left[cf(x)\right]=c\frac{d}{dx}f(x)$

= 합의 미분 sum rule =
f와 g가 모두 미분가능한 함수라면,
$\frac{d}{dx}\left[f(x)+g(x)\right]=\frac{d}{dx}f(x)+\frac{d}{dx}g(x)$

증명
Let $F(x)=f(x)+g(x)$
$F'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}$
 $=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x)}{h}$
 $=\lim_{h\to 0}\left(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right)$
 $=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\lim_{h\to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}$
 $=f'(x)+g'(x)$

항이 세 개 이상일 땐,
$(f+g+h)'=((f+g)+h)'=(f+g)'+h'=f'+g'+h'$

= 차의 미분 difference rule =
$\frac{d}{dx}\left[f(x)-g(x)\right]=\frac{d}{dx}f(x)-\frac{d}{dx}g(x)$

= 곱의 미분 product rule =

= 나누기의 미분 quotient rule =
$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$

= [[삼각함수_미분,derivative_of_trigonometric_function]] =
So far..
 [[sin_x_미분_증명]]
 [[cos_x_미분_증명]]
 [[tan_x_미분_증명]]

See [[VG:삼각함수_미분표]] (for future updates)

= ln x의 미분 =
정의에 의해
 $e^{\ln x}=x$
양변을 미분하면
 $\frac{d}{dx}(e^{\ln x})=1$
[[VG:연쇄법칙,chain_rule]]을 쓰면
 $e^{\ln x}\cdot\frac{d}{dx}(\ln x)=1$
따라서
 $\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{e^{\ln x}}=\frac{1}{x}$

결론
 $\fbox{\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac1{x}}$

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Twins:
 [[VG:미분,derivative]]