Up: [[극한(limit)]]
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[[TableOfContents]]

= 김도형 1 =
http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=1177885 1강 45분

$\lim_{x\to3}(4x-5)=7$ 을 증명하라.
pf.
We want: $\forall \epsilon>0,\,\exists \delta >0$
 s.t. $0<|x-3|<\delta\Rightarrow |(4x-5)-7|<\epsilon$
우변은
 $4|x-3|<\epsilon$
 $|x-3|<\frac{\epsilon}4$
주어진 양수 $\epsilon$ 에 대하여, $\delta=\frac{\epsilon}4$ 이라 하면,
 $0<|x-3|<\delta \Rightarrow |x-3|<\frac{\epsilon}4$
  $\Rightarrow 4|x-3|<\epsilon$
  $\Rightarrow |(4x-5)-7|<\epsilon$
  $\Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon$

= 김도형 2 =
2강 1:50분

$\lim_{x\to\infty}\frac1{x}=0$

Goal: $\forall\epsilon>0,\exists N>0$ such that
 $x>N\Rightarrow \frac1{|x|}<\epsilon$

추측: 어떠한 $\epsilon$ 이 주어지더라도 $N$ 을 $\epsilon^{-1}$ 로 하면 될 것 같다.

Sol: 주어진 $\epsilon>0$ 에 대하여 $N=\frac1{\epsilon}$ 이라 하면,
$x>N\Rightarrow |x|>N$
 $\Rightarrow \frac{1}{|x|}<\frac1{N}=\epsilon$
i.e.
 $|\frac1{x}-0|<\epsilon$

= 김도형 3 =
1:52분

$\lim_{x\to 0}\frac1{x^2}=\infty$

Goal: $\forall M>0,\exists\delta>0$ such that
 $0<|x-0|<\delta\Rightarrow \frac1{x^2}>M$

Guess:
 $|x|<\delta$
 $|x|^2<\delta^2$
 $\frac1{x^2}>\frac1{\delta^2}$

Sol: 주어진 M>0에 대하여
 $\delta=\frac1{\sqrt{M}}$ 이라 하면,
$0<|x|<\delta\Rightarrow |x|<\frac1{\sqrt{M}}$
 $\Rightarrow x^2<\frac1{M}$
 $\Rightarrow \frac1{x^2}>M$

= Delta Epsilon Proofs.pdf 1 =
$\lim_{x\to 2}(3x-1)=5$
다시 말해
Find an $\epsilon>0$ such that if $0<|x-2|<\delta$ then $|(3x-1)-5|<\epsilon$

먼저 delta를 찾는다
$|3x-6|<\epsilon$
$|x-2|<\epsilon/3$

그래서 $\delta=\frac{\epsilon}3$ 으로 pick, 그러면 $|x-2|<\frac{\epsilon}{3}$ 이 되는지?

Yes.

= Delta Epsilon Proofs.pdf 2 =
$\lim_{x\to 2}(3x^2-4x+1)=5$ 를 증명하라.

다시 말해 양수 epsilon을 찾아라. such that
if $0<|x-2|<\delta$ then $|(3x^2-4x+1)-5|<\epsilon$

$3x^2-4x-4=(x-2)(3x+2)$

TODO

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이상 http://mathnmath.tistory.com/36 의
Delta Epsilon Proofs.pdf 참조했음
"This handout is available at: www.uvu.edu/mathlab/handouts.html"

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