AKA '''특이적분'''
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ex.
$\int\nolimits_1^{\infty}\frac1xdx$
 $=\lim_{t\to\infty}\int\nolimits_1^t\frac1xdx$
 $=\lim_{t\to\infty}\left[\ln|x|\right]_1^t$
 $=\lim_{t\to\infty}\ln|t|$
 $=\lim_{t\to\infty}\ln t$
 $=\infty$ .....(1)

정리:
> $\int\nolimits_1^{\infty}\frac1{x^p}dx$
는 $p>1$ 이면 수렴, $p\le 1$ 이면 발산.
pf.
$p=1\Rightarrow$
 위 (1)에 따라 발산.
$p\ne 1\Rightarrow$
 $=\int\nolimits_1^{\infty}x^{-p}dx$
 $=\lim_{t\to\infty}\int\nolimits_1^t x^{-p}dx$
 $=\lim_{t\to\infty}\left[\frac1{1-p}x^{1-p}\right]_1^t$
 $=\lim_{t\to\infty}\left(\frac1{1-p}t^{1-p}-\frac1{1-p}\right)$
 $=\begin{cases}\frac1{p-1}&(p>1)\\ \infty&(p<1)\end{cases}$ (첫번째는 수렴, 두번째는 발산)

Thm.
> $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=\int_{-\infty}^af(x)dx+\int_a^{\infty}f(x)dx$

ex.
$\int_{-\infty}^{\infty}\frac1{1+x^2}dx$ 의 값을 구하라.
sol.
$\int_0^{\infty}\frac1{1+x^2}dx$
 $=\lim_{t\to\infty}\int_0^t\frac1{1+x^2}dx$
 $=\lim_{t\to\infty}\left[\tan^{-1}x\right]_0^t$
 $=\lim_{t\to\infty}\tan^{-1}t$
 $=\frac{\pi}2$
$\int_{-\infty}^0\frac1{1+x^2}dx$
 $=\lim_{t\to-\infty}\int_t^0\frac1{1+x^2}dx$
 $=\lim_{t\to-\infty}\left[\tan^{-1}x\right]_t^0$
 $=\lim_{t\to-\infty}(-\tan^{-1}t)$
 $=-\left(-\frac{\pi}2\right)$
 $=\frac{\pi}2$
답은 $\frac{\pi}2+\frac{\pi}2=\pi$

= 정리 =
$\int_0^1\frac1{x^p}dx$ 는
 $p\ge1$ 이면 발산하고,
 $p<1$ 이면 수렴한다.

주의:
$\int_{-1}^1\frac1xdx=\left[\ln|x|\right]_{-1}^1=\ln1-\ln1=0-0=0$
은 틀리다.

= References =
세종대 차영준 일변수미적1 http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=1269664 특이적분 01