표준적인 풀이법?

= 설명 1 =
$y=y(x)$ 일 때
 $y'+p(x)y=g(x)$
를 푸는 방법. 적분인자 $e^{\textstyle\int p(x)dx}$ 를 양변에 곱하면
 $e^{\textstyle\int p(x)dx} \cdot y' + p(x) \cdot e^{\textstyle\int p(x)dx} \cdot y = g(x) \cdot e^{\textstyle\int p(x)dx}$
곱의 미분법에 따라
 $\frac{d}{dx}\left[ e^{\textstyle\int p(x)dx} \cdot y \right] = g(x)\cdot e^{\textstyle\int p(x)dx}$
양변을 $x$ 에 대해 적분하면
 $y\cdot e^{\textstyle\int p(x)dx} = \int\left[ g(x)\cdot e^{\textstyle\int p(x)dx} \right] dx + C$
일반해는 양변을 $e^{\textstyle\int p(x)dx}$ 로 나누어
 $y(x)=e^{\textstyle-\int p(x)dx}\int\left[ g(x)\cdot e^{\textstyle\int p(x)dx} \right] dx + C\cdot e^{\textstyle-\int p(x)dx}$

= 설명 2 =
방정식
 $\frac{dy}{dx}+p(x)y=g(x)$
풀이법은 적분인자를 사용.
$\mu(x)$ 가 있다고 가정하고 양변에 곱하면
 $\mu(x)\frac{dy}{dx}+p(x)\mu(x)y=g(x)\mu(x)$
곱의 미분 공식은
 $\frac{d}{dx}[\mu(x)y]=\frac{d\mu(x)}{dx}y+\mu(x)\frac{dy}{dx}$
위 두 식을 같다고 보면
 $\frac{d\mu(x)}{dx}=p(x)\mu(x)$
이것은 변수분리형이다.
 $\int\frac{1}{\mu(x)}d\mu(x)=\int p(x)dx$
 $\ln|\mu(x)|+C_1=\int p(x)dx$
 $e^{\ln|\mu(x)|}e^{C_1}=e^{\int p(x)dx}$
 $\mu(x)=Ce^{\int p(x)dx}$
원래 방정식 $\left(\frac{dy}{dx}+p(x)y=g(x)\right)$ 에 대입하면
 $\left( C e^{\int p(x)dx} \right) \left( \frac{dy}{dx} \right) + \left( C e^{\int p(x)dx} \right) p(x) y = \left( C e^{\int p(x)dx} \right) g(x)$
정리하면 적분상수가 cancel되고, 이것을
 $\frac{d}{dx}\left( \left( e^{\int p(x)dx} \right) y \right) = \left( e^{\int p(x)dx} \right)' y + e^{\int p(x)dx} \left( \frac{dy}{dx} \right)$
이 식과 비교하면
 $\frac{d}{dx}\left( \left( e^{\int p(x)dx} \right) y \right) = g(x) e^{\int p(x)dx}$
 $\left( e^{\int p(x)dx} \right) y = \int g(x) e^{\int p(x)dx} + C_1$
양변에 $e^{-\int p(x)dx}$ 를 곱해주면
 $y=e^{-\int p(x)dx} \int\left[ g(x) e^{\int p(x)dx} \right] dx + C_1 e^{-\int p(x)dx}$
이것이 해가 된다.
식이 복잡하므로 $I=\int p(x)dx,$
 $y=e^{-I}\int(g(x)e^I)dx+Ce^{-I}$
로 외운다. (from BOS)
----
''이하 동일. 다만 지수에 들어가는 인테그랄을 textstyle로 지정해서 더 작게 했음.''
----
방정식
 $\frac{dy}{dx}+p(x)y=g(x)$
풀이법은 적분인자를 사용.
$\mu(x)$ 가 있다고 가정하고 양변에 곱하면
 $\mu(x)\frac{dy}{dx}+p(x)\mu(x)y=g(x)\mu(x)$
곱의 미분 공식은
 $\frac{d}{dx}[\mu(x)y]=\frac{d\mu(x)}{dx}y+\mu(x)\frac{dy}{dx}$
위 두 식을 같다고 보면
 $\frac{d\mu(x)}{dx}=p(x)\mu(x)$
이것은 변수분리형이다.
 $\int\frac{1}{\mu(x)}d\mu(x)=\int p(x)dx$
 $\ln|\mu(x)|+C_1=\int p(x)dx$
 $e^{\ln|\mu(x)|}e^{C_1}=e^{\textstyle\int p(x)dx}$
 $\mu(x)=Ce^{\textstyle\int p(x)dx}$
원래 방정식 $\left(\frac{dy}{dx}+p(x)y=g(x)\right)$ 에 대입하면
 $\left( C e^{\textstyle\int p(x)dx} \right) \left( \frac{dy}{dx} \right) + \left( C e^{\textstyle\int p(x)dx} \right) p(x) y = \left( C e^{\textstyle\int p(x)dx} \right) g(x)$
정리하면 적분상수가 cancel되고, 이것을
 $\frac{d}{dx}\left( \left( e^{\textstyle\int p(x)dx} \right) y \right) = \left( e^{\textstyle\int p(x)dx} \right)' y + e^{\textstyle\int p(x)dx} \left( \frac{dy}{dx} \right)$
이 식과 비교하면
 $\frac{d}{dx}\left( \left( e^{\textstyle\int p(x)dx} \right) y \right) = g(x) e^{\textstyle\int p(x)dx}$
 $\left( e^{\textstyle\int p(x)dx} \right) y = \int g(x) e^{\textstyle\int p(x)dx} + C_1$
양변에 $e^{\textstyle-\int p(x)dx}$ 를 곱해주면
 $y=e^{\textstyle-\int p(x)dx} \int\left[ g(x) e^{\textstyle\int p(x)dx} \right] dx + C_1 e^{\textstyle-\int p(x)dx}$
이것이 해가 된다.
식이 복잡하므로 $I=\int p(x)dx,$
 $y=e^{-I}\int(g(x)e^I)dx+Ce^{-I}$
로 외운다. (from BOS)

----
Up: [[선형미방linear_DE]]