arcsec_x(아크시컨트)_미분_증명

정리

$\displaystyle \frac{d}{dx}\sec^{-1}x=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

증명

아크시컨트를 $\displaystyle y$ 로 둔다.
$\displaystyle y=\sec^{-1}x$
$\displaystyle \sec y=x$ ........(1)
양변을 $\displaystyle x$ 에 대해 미분하면,
$\displaystyle \sec y\cdot\tan y\cdot y'=1$
$\displaystyle y'=\frac1{\sec y\cdot\tan y}$

피타고라스 항등식에 따라,
$\displaystyle 1+\tan^2y=\sec^2y$
$\displaystyle \tan y=\pm\sqrt{\sec^2 y-1}$
(1)에 의해,
$\displaystyle \tan y=\pm\sqrt{x^2-1}$
$\displaystyle y=\sec^{-1}x$ 의 정의에 따라 두 가지 경우가 있다.
만약 $\displaystyle x\ge1$ 이면, $\displaystyle 0\le y < \frac{\pi}2$ 이고 $\displaystyle \tan y>0$ 이다. 이때 $\displaystyle \tan y=\sqrt{x^2-1}$ 이다. (positive branch)
만약 $\displaystyle x\le-1$ 이면, $\displaystyle \frac{\pi}{2}\lt y\le\pi$ 이고 $\displaystyle \tan y\lt 0$ 이다. (negative branch)

$\displaystyle \frac{d}{dx}(\sec^{-1}x)=\begin{cases}\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}&\textrm{ if }x>1\\-\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}&\textrm{ if }x<-1\end{cases}$

$\displaystyle \frac{d}{dx}(\sec^{-1}x)=\frac1{|x|\sqrt{x^2-1}},\textrm{ for }|x|>1$