= 정리 =
$\frac{d}{dx}\sec^{-1}x=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

= 증명 =
아크시컨트를 $y$ 로 둔다.
 $y=\sec^{-1}x$
 $\sec y=x$ ........(1)
양변을 $x$ 에 대해 미분하면,
 $\sec y\cdot\tan y\cdot y'=1$
 $y'=\frac1{\sec y\cdot\tan y}$

피타고라스 항등식에 따라,
 $1+\tan^2y=\sec^2y$
 $\tan y=\pm\sqrt{\sec^2 y-1}$
(1)에 의해,
 $\tan y=\pm\sqrt{x^2-1}$
$y=\sec^{-1}x$ 의 정의에 따라 두 가지 경우가 있다.
만약 $x\ge1$ 이면, $0\le y < \frac{\pi}2$ 이고 $\tan y>0$ 이다. 이때 $\tan y=\sqrt{x^2-1}$ 이다. (positive branch)
만약 $x\le-1$ 이면, $\frac{\pi}{2}\lt y\le\pi$ 이고 $\tan y\lt 0$ 이다. (negative branch)

 $\frac{d}{dx}(\sec^{-1}x)=\begin{cases}\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}&\textrm{ if }x>1\\-\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}&\textrm{ if }x<-1\end{cases}$

 $\frac{d}{dx}(\sec^{-1}x)=\frac1{|x|\sqrt{x^2-1}},\textrm{ for }|x|>1$
## from Briggs Calculus 2e, p. 216-217

----
See also: [[arccsc_x(아크코시컨트)_미분_증명]]
Up: [[여러가지증명]]
[[아크시컨트,arcsecant]]
{
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3405206&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 아크시컨트]]
WtEn:arcsecant
}