= 정리 =
$\frac{d}{dx}\sin^{-1}x=\frac1{\sqrt{1-x^2}}$

= 증명 =
아크사인을 $y$ 로 놓는다. $-1\le x\le 1$ 일 때,
 $y=\sin^{-1}x$ 다시말해
 $\sin y=x$
이다. 양변을 $x$ 에 대해 미분하면,
 $\cos y\frac{dy}{dx}=1$
따라서
 $\frac{dy}{dx}=\frac1{\cos y}=\pm\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2y}}=\pm\frac1{\sqrt{1-x^2}}$
그런데 $-\frac{\pi}{2}\le y \le \frac{\pi}{2}$ 이므로, $\cos y\ge0$ 이다. 따라서,
 $\frac{dy}{dx}=\frac1{\sqrt{1-x^2}}$

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See also: [[arccos_x(아크코사인)_미분_증명]]
Up: [[여러가지증명]]