= 정리 =
$\int\sinh^{-1} xdx=x\cdot\sinh^{-1}x-\sqrt{x^2+1}+C$

= 증명 =
부분적분을 이용하면 (see [[VG:부분적분,integration_by_parts]])
||$f(x)=\sinh^{-1}x$           ||$g'(x)=1$ ||
||$f'(x)=\frac1{\sqrt{x^2+1}}$ ||$g(x)=x$  ||

주어진 식은
 $x\cdot\sinh^{-1}x-\int\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}dx$
이렇게 되고, $\sqrt{x^2+1}=t$ 로 치환하면 $x^2+1=t^2,\;xdx=tdt$ 이므로, 우측에 있는 적분식은
 $\int\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}dx=\int\frac{tdt}{t}=\int dt=t+C=\sqrt{x^2+1}+C$
이것을 위 주어진 식에 대입하면 된다.

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