평행사변형_법칙,parallelogram_law

Prob. 다음 등식이 성립함을 보여라.
$\displaystyle ||\vec{a}+\vec{b}||^2+||\vec{a}-\vec{b}||^2=2(||\vec{a}||^2+||\vec{b}||^2)$

Soln. VG:내적,inner_product의 성질에서
$\displaystyle ||\vec{a}+\vec{b}||^2$
$\displaystyle =(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}+\vec{b})$
$\displaystyle =\vec{a}\cdot\vec{a}+\vec{b}\cdot\vec{a}+\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{b}$
$\displaystyle =||\vec{a}||^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}+||\vec{b}||^2$
$\displaystyle ||\vec{a}-\vec{b}||^2$
$\displaystyle =(\vec{a}-\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b})$
$\displaystyle =\vec{a}\cdot\vec{a}-\vec{b}\cdot\vec{a}-\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{b}$
$\displaystyle =||\vec{a}||^2-2\vec{a}\cdot\vec{b}+||\vec{b}||^2$
이므로
$\displaystyle ||\vec{a}+\vec{b}||^2+||\vec{a}-\vec{b}||^2=2(||\vec{a}||^2+||\vec{b}||^2)$
이 성립한다.

https://i.imgur.com/VQDs9GL.png


Twins