행렬합답형문제

from 버리는 고교 교재.
이차정사각행렬 A, B와 단위행렬(VG:단위행렬,unit_matrix) E에 대해 참과 거짓 판별 문제들.

Q. A3=E이면 ∃A−1
A. 참
A(AA)=E 이므로
AA=A−1

Q. ∃A−1 → ∃(A2)−1
A. 참
A2(A−1)2=AAA−1A−1=AEA−1=AA−1=E
(A−1)2A2=A−1A−1AA=A−1EA=A−1A=E
∴ (A2)−1=(A−1)2
// 내 생각, 저건 단번에 떠올리기 힘들다면 하는 단계적인 접근:
A의 역행렬이 존재하므로
AA−1=E
왼쪽에 A를 곱하면
A2A−1=A
()=E 꼴을 만들기 위해 오른쪽에 A−1를 곱하면
A2(A−1)2=E
따라서 A2의 역행렬이 존재.

Q. ∃A−1 and ∃B−1 → ∃(A+B)−1
A. 거짓
반례: $\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix},\,B=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix},\,A+B=O$

Q. A2=O → ∃(E−A)−1
A. 참
(E−A)(E+A)=E−A2=E−O=E
(E−A)−1=E+A