from 버리는 고교 교재.
이차정사각행렬 A, B와 단위행렬([[VG:단위행렬,unit_matrix]]) E에 대해 참과 거짓 판별 문제들.
----
Q. A^^3^^=E이면 ∃A^^−1^^
A. 참
A(AA)=E 이므로
AA=A^^−1^^

Q. ∃A^^−1^^ → ∃(A^^2^^)^^−1^^
A. 참
A^^2^^(A^^−1^^)^^2^^=AAA^^−1^^A^^−1^^=AEA^^−1^^=AA^^−1^^=E
(A^^−1^^)^^2^^A^^2^^=A^^−1^^A^^−1^^AA=A^^−1^^EA=A^^−1^^A=E
∴ (A^^2^^)^^−1^^=(A^^−1^^)^^2^^
// 내 생각, 저건 단번에 떠올리기 힘들다면 하는 단계적인 접근:
A의 역행렬이 존재하므로
AA^^−1^^=E
왼쪽에 A를 곱하면
A^^2^^A^^−1^^=A
()=E 꼴을 만들기 위해 오른쪽에 A^^−1^^를 곱하면
A^^2^^(A^^−1^^)^^2^^=E
따라서 A^^2^^의 역행렬이 존재.

Q. ∃A^^−1^^ and ∃B^^−1^^ → ∃(A+B)^^−1^^
A. 거짓
반례: $A=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix},\,B=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix},\,A+B=O$

Q. A^^2^^=O → ∃(E−A)^^−1^^
A. 참
(E−A)(E+A)=E−A^^2^^=E−O=E
(E−A)^^−1^^=E+A

----
[[VG:행렬,matrix]]