Ex 1 ¶

$\displaystyle (1+x)^n\ge 1+nx\quad\quad(n=1,2,\cdots)$

증명:

$\displaystyle (1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2+\cdots+x^n$

이고, $\displaystyle x>0$ 이기 때문에

$\displaystyle (1+x)^n\ge 1+nx$

Ex 2 ¶

$\displaystyle 1+\frac1{\sqrt{n}}>\sqrt[2n]{n}\quad\quad(n=1,2,\cdots)$

증명
위 Ex 1 에서 $\displaystyle (1+x)^n\ge 1+nx$ 가 성립하고,
$\displaystyle \sqrt{n}>0$ 이므로, $\displaystyle x=\frac1{\sqrt{n}}$ 으로 두면

$\displaystyle \left(1+\frac1{\sqrt{n}}\right)^n\ge 1+\sqrt{n}>\sqrt{n}$
$\displaystyle 1+\frac1{\sqrt{n}}>\sqrt[2n]{n}$

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