예를 들어,
은 구간 $\displaystyle (-\infty,\infty)$ 에서 미분 가능하고, 그 미분,derivative은
이다. 따라서 이것을 미분방정식
로 쓸 수 있다.
(Zill)

$\displaystyle y''+y=0$ 의 해로는
$\displaystyle y=\sin x,y=\cos x$ 가 있다.

단조화운동,simple_harmonic_motion,SHM 관련
참고로 $\displaystyle \omega^2=\frac{k}m,\;\omega=\sqrt{\frac{k}m}$ 이다.
이걸 원래 미분방정식에 대입하면 성립함을 볼 수 있다.

뉴턴의 제 2법칙은
이고 거리를 x로 하면
거리가 시간 t에 대한 함수임을 표시하면
(wpko 상미분방정식)

상수 $\displaystyle a,k,C(k=\ln a)$ 가 있을 때,
지수함수 $\displaystyle y=Ca^x=Ce^{kx}(=Ce^{x\ln a})$ 의 도함수는
$\displaystyle y'=(\ln a)(Ca^x)=ky$ 즉 자신의 상수배가 된다.
이런 성질을 갖는 함수는 또 없다. (지수함수만 그렇다.)
다시말해 $\displaystyle y'=ky$ 이면 $\displaystyle y=Ce^{kx}$ 이다.

보이기:
라고 하자. (이하 e^kx 로 양변을 나눈다. 어디서 온 아이디어?)
라고 하면 (이하 x에 대해 미분한다)
따라서
이다.

(서울대기초수학학습교재 p173)

현재 물리physics에 1차원 등속운동, 등가속운동 공식을 기본적인 미방을 풀어서 유도하는 과정 있음.

떨어지는 물체
자유낙하방정식

스프링(k)에 매달려 진동하는 (질량 m) 물체
(vibrating mass on a spring)
조화진동방정식

온도가 $\displaystyle y_0$ 인 물체를 온도가 A인 공간에 놓으면 시간 t에서 물체의 온도 $\displaystyle y=f(t)$ 는 뉴턴의 냉각법칙에 의해 다음으로 주어진다.
이 때 y'을 y를 이용하여 나타내고, 이 식이 의미하는 바를 설명하라.

Sol. 지수미분법칙을 쓰면
물체의 온도가 공간의 온도보다 낮으면
이므로 물체의 온도는 올라가고, 물체의 온도가 공간의 온도보다 높으면
이므로 물체의 온도는 내려간다. 또한 물체의 온도의 변화율은 물체와 공간의 온도차이에 비례한다.

Contagion (전염, 전염병)

가정

• N명의 집단
  
• 감염속도(speed of infection)는 감염된 사람 수에 비례
  
• 감염되지 않은 사람 수에도 비례
  

그럼 얼마나 빨리 병이 퍼지는가?

모델링
그러면 DE는
풀면 DE의 해는
참고로 S자 curve를 그림

from src 이민식 1강 18m

상미방 ODE
편미방 PDE
(독립변수의 수에 따라)

계수 order 에 따라
차수 degree

선형 linear
비선형 nonlinear
(선형성,linearity에 따라. 중첩원리,superposition_principle 도 관련)
{
DE가 선형이라는 것은, 독립변수의 선형 함수임을 뜻함
$\displaystyle f(x,y,y',\cdots)=$
종속변수끼리 곱해지는 일은 없음

src 29:30
}

제차 homogeneous
비제차 inhomogeneous

등의 여부에 따라 분류하고,
문제도 분류하는데.. 이런 것들이 있다.

IVP initial value problem 초기치문제 (한 점에서의 값이 주어질 경우)
BVP boundary value problem 경계치문제 (둘 이상의 점에서의 값이 주어질 경우)

경계값문제BVP 경계값 문제, boundary value problem, BVP
초기값문제IVP 초기값문제, initial value problem, IVP
IVP(initial value problem) : 조건이 하나 (initial condition)
BVP(boundary value problem) : 조건이 둘 이상

양함수 형(explicit form)
음함수 형(implicit form)

$\displaystyle y=f(x)$ 를 미분방정식에 대입했을 때, 그 방정식을 항등적으로 만족한다면, 이 함수 $\displaystyle f(x)$ 를 해라고 하며, 해를 구하는 것을 그 방정식을 푼다고 한다.

ex.
$\displaystyle y'=x$ 의 해는 $\displaystyle y=\frac12x^2+C$
검증: 양변 미분하면 $\displaystyle y'=x$

$\displaystyle y'=e^x$ 의 해는 $\displaystyle y=e^x+C$
검증: 양변 미분하면 $\displaystyle y'=e^x$

일반해(general solution)
특수해(particular solution)
특이해(singular solution)
자명해(trivial solution)
비자명해(nontrivial solution)

n계 미방에 대한 n개의 임의의 상수를 포함하는 해가 존재할 때, 해를 그 방정식의 일반해라 한다.
1계
2계

일반해의 임의의 상수에 어떤 특정 값을 넣어서 얻은 해

미방의 해 중에서 일반해의 임의의 상수에 어떠한 값을 넣어도 얻어질 수 없는 해, 즉 일반해도 특수해도 아닌 해

$\displaystyle \left(\frac{dy}{dx}\right)^2-x\left(\frac{dy}{dx}\right)+y=0$

일반해
특이해

항등적으로 0이 나오는 해

$\displaystyle y''-2y'+y=0$

$\displaystyle y=0$

A first-order diff. eq. is linear if it has the form

$\displaystyle y'+p(x)y=q(x)$ ...........(1)

for some functions p and q.

일반적 접근법(general approach to solving)
Let
and notice that
다음 원래 식(1)에 $\displaystyle g(x)$ 를 곱하여
여기에 (2)를 적용하면, (가운데 $\displaystyle p(x)g(x)$ 에)
좌변이 곱의 미분 꼴.
양변을 적분하면,
$\displaystyle g(x)\ne0$ 이면 y에 대해 풀 수 있다.

요약. $\displaystyle y'+p(x)y=q(x)$ 꼴이면, 먼저
를 계산한다. 이것을 선형(미분)방정식의 적분인자,integrating_factor라 한다.
다음, 미방(DE)를 적분인자(IF)로 곱한다.
다음, 좌변이 곱의 미분꼴로 된 것을 해결한다. 우변은 그냥 x에 대한 함수이다.
다음, y에 대해 풀어 일반해(general solution)를 얻는다.

(from O'Neil 7e 1.2)

1계 선형 미분방정식의 적분인자법
method of integrating factor in first order linear differential equation
https://freshrimpsushi.github.io/posts/method-of-integrating-factor-in-first-order-linear-differential-equation/
(from Boyce 11e)

다음 꼴은

$\displaystyle \frac{dy}{dx}+f(x)y=g(x)$

적분인자,integrating_factor (IF)

$\displaystyle I(x)=e^{\int f(x)dx}$

를 사용한다.

Steps
1. 적분인자를 계산
2. 미방을 적분인자로 곱함
3. 왼쪽은 $\displaystyle \frac{d}{dx}(I(x)y(x))$ 꼴이 될거임
4. Rearrange to get $\displaystyle y(x)=\frac1{I(x)}\int g(x)I(x)dx$ and integrate

이것은 $\displaystyle f(x),g(x)I(x)$ 를 적분하는 것에 의존한다. 따라서 언제나 가능하지는 않다.

Ex. Solve
Sol.
integ. factor is
DE에 IF를 곱하면

form:

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$

Ex. $\displaystyle \frac{dy}{dx}=xy$

$\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}+a\frac{dy}{dx}+by=0$

이차방정식과 비교 가능.
먼저 characteristic_equation (CE) 을 만든다.
세 경우가 있다.

1. 실근 $\displaystyle p_1$ and $\displaystyle p_2$
2. 한 실근 $\displaystyle p$
3. 복소근들 $\displaystyle r\pm is$
Ex.
CE는
so the DE's general sol. is
Ex.
CE is
그리하여 DE의 general sol.은
Ex.
CE는
so the DE has the general sol.
Ex.
CE is
so the general sol. is

$\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}+a\frac{dy}{dx}+by=f(x)$

TBW

$\displaystyle f(x)+g(y)\frac{dy}{dx}=0$
$\displaystyle f(x)dx+g(y)dy=0$
$\displaystyle f(x)dx=-g(y)dy$

ex.
ex.

참고:
인 이유는,

ex.
$\displaystyle x^2+1=t,\;2xdx=dt,\;dx=\frac{dt}{2x}$
ex.
...try...
...fail... 답:
$\displaystyle 2y-1=t,\;2dy=dt,\;dy=\frac12dt$
ex.
ex.
sol.
ex.

$\displaystyle y'=f\left(\frac{y}{x}\right)$ 이게 풀기 힘들때
i) $\displaystyle \frac{y}{x}$ 를 $\displaystyle u$ 로 치환한다.
ii)
iii)
근데 마지막 두줄
이 스텝을 빠르게 하는 방법을 모르겠는데, 다시 써보면
아니면 du/dx에 대해 정리해서

ex.
sol.
i)
ii)
iii)
양변에서 u를 뺌
변수분리
적분
치환했던 것을 복구

ex.
i) 치환
ii)
iii) i)과 ii) 식을 합치면
$\displaystyle u^2+1=t$ 로 치환하면 $\displaystyle 2udu=dt,\; du=\frac{dt}{2u}$
therefore,

ex.
sol. 양변을 $\displaystyle x^3$ 으로 나누면
i)
ii)

ex.
sol.
ex.

(http://kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=1215229 5강: 완전 미분방정식 개념) 참조하여 작성됨.

이변수함수 $\displaystyle u=f(x,y)$ 가 있으면
u가 x에 관해 미분가능할 때, 극한값:
u가 y에 관해 미분가능할 때, 극한값:
$\displaystyle u=f(x,y)$ 의 편도함수 $\displaystyle f_{xy}(x,y),\,f_{yx}(x,y)$ 가 점 (a,b)에서 연속이면
exact DE를 풀기 위해선 전미분 개념을 먼저 알아야.

전미분,total_differential 페이지가 있었고
전미분,total_derivative 페이지로 내용 옮김. 차이가 뭐지?

완전 미분 방정식

$\displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy$ 가 어떤 함수 $\displaystyle f(x,y)$ 의 전미분과 같으면, 즉
→
$\displaystyle df=M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$

$\displaystyle M(x,y),\;N(x,y)$ 의 1계 편도함수가 연속일 때,
$\displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ 이면 완전미분방정식.
$\displaystyle \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right),\quad \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)$

$\displaystyle u=f(x,y)$ 가 연속 ⇒
$\displaystyle df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy=0$
$\displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$

1)
2)
3)
from (1),
참고로 k는 y만에 대한 함수라서 편미분을 할 필요가 없고 그냥 미분으로 표기? CHK
4)

ex.
이건 변수분리로 풀린다.
하지만 완전미방 해법으로 푼다.
1)
2)
3)
from (1),
4)

ex.
sol.
i)
ii)
iii)
from (1),
therefore
iv) (1)과 (2)를 합치면,

ex. (이건 변수분리가 되지 않는다)
dx가 앞으로 오는게 보기 좋으므로(??)
1)
2)
3)
from (1),
4)

ex.
1)
2)
3)
from (1),
4)

ex.
sol.
1)
2)
3)
from (1),
4)

이상 완전미분방정식,exact_DE 으로 옮기고... 이하도 옮길 것임 (나중에 분리)

CHK:
이고
에서 $\displaystyle f=...+k(y)$ 부분을 $\displaystyle y$ 에 대해 편미분한 것 $\displaystyle \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)$ 을...가지고 $\displaystyle f$ 에 대한 정보를 구할 수 있었다.
이것이 완전미분방정식의 풀이였고,

ex.
이렇게 같지 않아서 불완전이다.

처음 식 양변에 $\displaystyle \frac1{x^2}$ 를 곱한다. 이것을 적분인자,integrating_factor라고 한다. 그러면,
이렇게 $\displaystyle M,N$ 이 같게 된다. 즉 완전미방이 된다.

즉 불완전미방은 적분인자를 찾아 곱해서 완전미방으로 바꾸어서 푸는 것이다.
그럼 적분인자를 어떻게 찾을 것인가?

불완전미방
적분인자
원래 식에 곱하면,
이 식이 완전미방이기 위해서는,
이어야 한다.

1)
2)
그렇다면, 적분인자가 $\displaystyle x$ 만의 함수인지 $\displaystyle y$ 만의 함수인지 어떻게 알까? 힌트는 위 식에서
의 네모친 부분에 있다. 위 식을 다시 쓰면
인데, 각각
로 되었다.

ex.
sol.
1)
이렇게 적분인자를 구했다. 그러니 원 식에 곱한다.
2)
3)
from (1),
4)

ex.
sol.
1)
적분인자를 구했고, 준식에 곱해주면
2)
3)
from (1),
4)

ex.
sol.
1)
적분인자가 y이고,
2)
3)
4)

ex.
불완전미방
따라서 $\displaystyle F=\frac1{x^2}$
2)
3)
from (1), (???)
4)

1계 선형미분방정식
1) $\displaystyle r(x)=0$ 이면
2) $\displaystyle r(x)\ne0$ 이면

Notes from 덕성여대 - 일계 선형방정식의 풀이법

$\displaystyle F(x,y,y')=0$ 이 $\displaystyle y,y'$ 에 대한 선형결합,linear_combination의 형태로.
이것을 다음과 같은 표준형(standard form)으로 바꿈.
이걸 이렇게 이항하면
$\displaystyle f(x)=0$ 형태이면
만일
증명: $\displaystyle f(x)=(y_p+y_c)'+P(x)\cdot(y_p+y_c)$
(2)는 변수분리형이다.
(1)의 해를 (하나만이라도) 구하기 위해 variation of parameters(파라미터 변화법, 매개변수변환, 매개변수변화법)을 사용. (여기서 parameter는 변수.)
그러면,
(1)의 해 중 하나:
(1)의 해를
예. $\displaystyle y'-3y=6$
해:
// 일게 선형방정식의 풀이법(계속)과 완전형 미분방정식 (sic)
다른 방법
양변에 $\displaystyle e^{\int p(x)dx}$ (중 하나) 를 곱한다.
왼쪽은 미분 형태이므로
양변을 적분하면
여기서 $\displaystyle e^{\int p(x)dx}$ 를 integrating factor라고 한다.

예) $\displaystyle y'-3y=6$ 을 다시.
그러면 integrating factor는
그러면
좌변이 미분형태이므로
양변 적분하면
예) $\displaystyle (x^2-9)y'+xy=0$
적분인자: $\displaystyle e^{\int p(x)dx}=e^{\int\frac{x}{x^2-9}dx}$
$\displaystyle u=x^2-9,du=2xdx$ 로 치환하면
$\displaystyle \int\frac{x}{x^2-9}dx=\frac12\int\frac1udu=\frac12\ln|u|+C=\frac12\ln|x^2-9|+C$
다시 집어넣으면 (여기서 C는 0으로 고를 수 있다.)
원래 식은
그리고 x = -3, 3은 특이점임.

결론: 1계선형미방은 잘 풀린다. 그 일반해는 1-parameter family를 이룬다.

덕성여대 Exact Equations
47:40

이렇게 쓸 수 있다. 아예 더 일반적으로,
이런 일계미방이 어떤 2변수함수 $\displaystyle z=f(x,y)$ 의 전미분,total_differential이 될 때, 이 방정식을 exact하다고 한다.

예) $\displaystyle ydx+xdy=0,\;y'=-\frac{y}{x}$

덕성여대 동영상 4. 완전형 미분방정식

예 $\displaystyle xydx+(2x^2+3y^2-20)dy=0$
$\displaystyle \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$ 인가?
$\displaystyle x\ne 4x$ 이므로 아니다.
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=M,\frac{\partial f}{\partial y}=N$ 을 만족하는 2변수 $\displaystyle f(x,y)$ 가 존재하지 않는다.
따라서 이 DE는 exact하지 않다.

예. $\displaystyle x^2y^3dx+x^3y^2dy=0$
$\displaystyle \to f(x,y)$ 가 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=M,\frac{\partial f}{\partial y}=N$ 을 만족한다고 가정하자.
위 둘이 같으므로
$\displaystyle \to f(x,y)=\frac13x^3y^3+C$ , C는 상수
해: $\displaystyle \frac13x^3y^3=C$ , C는 상수

ex. $\displaystyle 2xydx+(x^2-1)dy=0$
$\displaystyle \frac{\partial M}{\partial y}=2x,\frac{\partial N}{\partial x}=2x$
$\displaystyle f$ 가 $\displaystyle \partial f/\partial x=M,\partial f/\partial y=N$ 을 만족한다고 하자.
$\displaystyle f=\textstyle\int 2xydx=x^2y+g(y)$
$\displaystyle \to x^2-1=\frac{\partial f}{\partial y}=x^2+g'(y)$
$\displaystyle \to g'(y)=-1\to g(y)=-y+C$
$\displaystyle \to f=x^2y-y+C$
해: $\displaystyle x^2y-y=C,$ C: 상수
만일 방정식 $\displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ 이 exact하지 않다면, 강제로 exact하게 만들 수 있다.

$\displaystyle \mu(x,y)M(x,y)dx+\mu(x,y)N(x,y)dy=0$ 가 언제 exact하게 될까?
$\displaystyle \Leftrightarrow \frac{\partial}{\partial y}(\mu M)=\frac{\partial}{\partial x}(\mu N)$

가정: $\displaystyle \mu$ 가 $\displaystyle x$ 에만 의존. $\displaystyle \mu=\mu(x)$

이러면 $\displaystyle \mu$ 에 대한 1계 선형미분방정식 형태가 된다. (+homogeneous)
좌변은 $\displaystyle \frac{d\mu}{dx}$ 이고, 우변을 편미분 notation으로 쓰면
ex.
$\displaystyle N_x=4x,M_y=x \;\to\; \frac{N_x-M_y}{N}=\frac{4x-x}{2x^2+3y^2-20}$
$\displaystyle \to\mu$ 를 $\displaystyle x$ 에만 의존하는 함수로 잡을 수 없다.
$\displaystyle \to\mu$ 를 $\displaystyle y$ 에만 의존하는 함수로 잡아보자. $\displaystyle \mu=\mu(y)$

$\displaystyle M_y=x,N_x=4x \;\to\; \frac{M_y-N_x}M=\frac{x-4x}{xy}=-\frac3y$
$\displaystyle \to \mu=Ce^{-\int(-\frac3y)dy}=Ce^{3\ln|y|}$
$\displaystyle \to e^{3\ln|y|}=e^{\ln|y|^3}=|y|^3$
$\displaystyle \to \mu=y^3$

이러면
$\displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(xy^4)=4xy^3,$
$\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(y^3(2x^2+3y^2-20))=4xy^3$
같게 됨.
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=xy^4,\frac{\partial f}{\partial y}=y^3(2x^2+3y^2-20)$
를 만족하는 $\displaystyle f(x,y)$ 를 구하자.

$\displaystyle f=\frac12x^2y^4+g(y)$
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=2x^2y^3+g'(y)$
$\displaystyle g'(y)=3y^5-20y^3$
$\displaystyle g(y)=\frac12y^6-5y^4+C$
$\displaystyle f=\frac12x^2y^4+\frac12y^6-5y^4+C$
그래서 해는
$\displaystyle \frac12x^2y^4+\frac12y^6-5y^4=C$

덕성여대 - 치환으로 해결되는 방정식들, 초기치문제

일단 homogeneous의 개념을 확장.

정의.
iff
예.
그러니까 x와 y 두 문자에 대해서 몇차인가 그것.

정의.
iff
예. $\displaystyle (x^2+y^2)dx+(x^2-xy)dy=0$
새로운 변수 u를 도입.
여기서, $\displaystyle \frac{1-u}{1+u}=\frac{(-1-u)+2}{1+u}=-1+\frac2{u+1}$
양변 적분
이렇게 x와 u의 관계가 답이다. 또는 $\displaystyle y=ux$ 이므로

Bernoulli's Equation
베르누이미분방정식

$\displaystyle \frac{dy}{dx}+p(x)\cdot y=f(x)\cdot y^n\quad\quad (n=1,2,3,\cdots)$

치환:
예:
$\displaystyle u=y^{1-2}=\frac1y,y=\frac1u$
이렇게 일계선형 형식으로 된다.
integrating factor:
양함수꼴로 하면

덕성여대 - 5. 고계도 선형미분방정식의 성질

$\displaystyle a_n(x)y^{(n)}(x)+\cdots+a_1(x)y'(x)+a_0(x)y(x)=f(x)$

• 일반적으로 잘 안 풀림 $\displaystyle (n\ge2)$
  
• 상수계수의 경우 거의 다 풀림
  

초기조건(initial condition, IC):
정리:

• 위 식에서 $\displaystyle a_0(x),\cdots,a_n(x),f(x)$ 가 구간 $\displaystyle I$ 에서 연속이고, $\displaystyle a_n(x)$ 는 $\displaystyle I$ 에서 0의 값을 가지지 않는다고 가정. ( $\displaystyle a_n(x)$ never vanish on $\displaystyle I$ )
  
• $\displaystyle x_0\in I$
  

⇒ (위 식 + 위의 초기 조건)은 유일한 해를 가진다.

Boundary Value Problem 경계치 문제

• $\displaystyle y(a)=y_0,\; y(b)=y_1\; (a\ne b)$
  
• $\displaystyle y'(a)=y_0',\; y'(b)=y_1'$
  
  : Neumann condition
  
• $\displaystyle y(a)=y_0,\;y'(b)=y_1'$
  
  : Mixed condition
  
  

BVP는 해를 가지지 않을 수도, 하나만 가질 수도, 많이 가질 수도 있다.

예) $\displaystyle y''+16y=0$
일반해: $\displaystyle y=c_1\cos 4x+c_2\sin 4x,\;\; c_1,c_2\in\mathbb{R}$
BC: $\displaystyle y(0)=0,\,y(\frac{\pi}2)=0$
이 BVP의 해: $\displaystyle y=c_2\sin 4x$
BC: $\displaystyle y(0)=0,\;y(\frac{\pi}2)=1$
이 BVP의 해는 없다.

경계값문제,boundary_value_problem,BVP
경계,boundary
http://www.scholarpedia.org/article/Boundary_value_problem

Superposition Principle for Linear DE
선형미분방정식의 중첩원리,superposition_principle

$\displaystyle a_n(x)y^{(n)}(x)+\cdots+a_1(x)y'(x)+a_0(x)y(x)=f(x)$ : inhomogeneous (N)
$\displaystyle a_n(x)y^{(n)}(x)+\cdots+a_1(x)y'(x)+a_0(x)y(x)=0$ : homogeneous (H)

정리. (homogeneous linear DE의 중첩원리)
증명: y를 대입하면 $\displaystyle c_1\cdot 0+\cdots+c_k\cdot 0 = 0$ 이 됨.

y가 (H)의 해 => cy도 해가 됨
y1,y2가 (H)의 해 => y1+y2도 해가 됨
특히 0=0y가 (H)의 해 => 자명해(trivial solution)

(H)의 해집합: 벡터공간,vector_space

예)
알고 있는 해: $\displaystyle y_1=x^2,y_2=x\ln x,y_3=x^2\ln x$
$\displaystyle \rightarrow c_1x^2+c_2x\ln x+c_3x^2\ln x$
사실 이게 해의 전부이다. (일반해라고 한다. general solution)
i.e.
$\displaystyle \{y_1,y_2,y_3\}$ 는 해집합의 기저,basis가 된다.

Def.
$\displaystyle f_1(x),f_2(x),\cdots,f_n(x):$ 구간 $\displaystyle I$ 에서 정의된 함수들
$\displaystyle \Leftrightarrow$ (정의)
예)
이걸로 0을 만들 수 있을까?
Yes. 선형종속.
즉 선형종속임을 확인하려면 적절히 집어넣어서 0이 되는지 보면 된다.

Def.
$\displaystyle \Leftrightarrow$ (정의)
$\displaystyle \Leftrightarrow$
$\displaystyle \Leftrightarrow$
예)
$\displaystyle c_1\cdot 1+c_2\cdot x+c_3\cdot x^2\equ 0$ 으로 가정.

따라서 선형독립.

Wronskian : 일종의 판별식/행렬식?
론스키안, 론스키언, 론스키 행렬식, 브론스키 행렬식

$\displaystyle f_1,\cdots,f_n$ : 구간 $\displaystyle I$ 에서 정의된 함수들, n-1번 미분가능. 일 때
Wronskian (determinant) of $\displaystyle f_1,\cdots,f_n$ 은
$\displaystyle W(f_1,\cdots,f_n)(x):=\det\begin{bmatrix}f_1(x)&f_2(x)&\cdots&f_n(x)\\f_1'(x)&f_2'(x)&\cdots&f_n'(x)\\\vdots&\vdots&&\vdots\\f^{(n-1)}(x)&f^{(n-1)}_2(x)&\cdots&f^{(n-1)}_n(x)\end{bmatrix}$

정리:
만일 $\displaystyle W(f_1,\cdots,f_n)\not\equ 0$ 이면 $\displaystyle f_1,\cdots,f_n$ : 선형독립.

영상 6. n계선형 homogeneous 방정식의 fundamental set of solutions

n-th homogeneous 선형 미분방정식:
정리
$\displaystyle \Leftrightarrow$
del {

증명
$\displaystyle (\Leftarrow)$ 는 전시간(위의) 정리.
$\displaystyle (\Rightarrow)$ 의 증명.

가정: $\displaystyle y_1,\ldots,y_n$ 이 선형독립
보이고 싶은 것: $\displaystyle \forall x\in I,\,W(x)\ne 0$
어떤 $\displaystyle x_0\in I$ 에서 $\displaystyle W(x_0)=0$ 이었다고 가정하자.
$\displaystyle \det\begin{bmatrix}y_1(x_0)&y_2(x_0)&\cdots&y_n(x_0)\\y_1'(x_0)&y_2'(x_0)&\cdots&y_n'(x_0)\\\vdots& & &\vdots\\y_1^{(n-1)}(x_0)&y_2^{(n-1)}(x_0)&\cdots&y_n^{(n-1)}(x_0)\end{bmatrix}=W(x_0)=0$
$\displaystyle \Leftrightarrow$
$\displaystyle \begin{bmatrix}y_1(x_0)&y_2(x_0)&\cdots&y_n(x_0)\\y_1'(x_0)&y_2'(x_0)&\cdots&y_n'(x_0)\\\vdots& & &\vdots\\y_1^{(n-1)}(x_0)&y_2^{(n-1)}(x_0)&\cdots&y_n^{(n-1)}(x_0)\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c_1\\c_2\\ \vdots \\ c_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\ \vdots \\ 0\end{bmatrix}$
의 해 $\displaystyle (c_1,\cdots,c_n)$ 이 무수히 많다.
$\displaystyle \Leftrightarrow$
전부 0은 아닌 $\displaystyle c_1,\cdots,c_n$ 들이 존재해서 이 방정식의 해가 된다.

새로운 함수 $\displaystyle y_*(x):=c_1y_1(x)+\cdots+c_ny_n(x)$ 를 정의 ( $\displaystyle I$ 에서 )
그러면 (H)의 중첩원리에 의해 $\displaystyle y_*:$ (H)의 해

$\displaystyle y_*(x_0)=c_1y_1(x_0)+\cdots+c_ny_n(x_0)=0$
$\displaystyle y_*'(x_0)=c_1y_1'(x_0)+\cdots+c_ny_n'(x_0)=0$
$\displaystyle y_*^{(n-1)}(x_0)=c_1y_1^{(n-1)}(x_0)+\cdots+c_ny_n^{(n-1)}(x_0)=0$

이하생략

아무튼 어쩌구저쩌구 해서 증명가능

}

정의 (Fundamental Set of Solutions) (F.S.S.)
(H)의 n개의 선형독립인 해 $\displaystyle y_1,\cdots,y_n$ :
(H)의 fundamental set of solutions라고 부른다.

정리 (Existence of F.S.S.)
증명: $\displaystyle x_0\in I$ 를 잡자.
$\displaystyle y_1:$
$\displaystyle y_2:$
$\displaystyle y_n:$
$\displaystyle y_1,\cdots,y_n$ 이 선형독립이라는 것을 보이면 됨.
$\displaystyle W(x):=W(y_1,\cdots,y_n)(x)$ 라고 놓자.
$\displaystyle W(x_0)=\det\begin{pmatrix}y_1(x_0)&\cdots&y_n(x_0)\\\vdots&&\vdots\\y_1^{(n-1)}(x_0)&\cdots&y_n^{(n-1)}(x_0)\end{pmatrix}$
$\displaystyle =\det\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots\\0&1&0&&\\0&0&1&&\\\vdots&\vdots&&\\&&\cdots&1\end{pmatrix}$
$\displaystyle =1\ne0$
→ $\displaystyle y_1,\cdots,y_n$ : 선형독립
→ $\displaystyle y_1,\cdots,y_n$ : F.S.S.

dim((H)의 해집합) ≥ n

정리) Sufficiency of F.S.S.
$\displaystyle y_1,\cdots,y_n$ : FSS of (H) (I에서)
Y: I에서 (H)의 아무 해 하나라고 하자.
$\displaystyle \Rightarrow Y(x)=c_1y_1(x)+\cdots+c_ny_n(x),\quad \forall x\in I$
증명)
동영상 덕성여대 inhomogeneous 선형방정식의 중첩원리와 일반해

https://blog.naver.com/sw4r/221824587683 - 19개 글

차분방정식
difference equation ?
{
rel
recurrence relation 점화관계
difference 차 차이 차분 ..
}

덕성여대 http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=1189624
한밭대 http://kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=1215229

Merge later to 미분방정식,differential_equation ?
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