(i)
$\displaystyle \lim\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=L<1$ 이면
$\displaystyle \sum a_n$ 은 절대수렴한다. (see
수렴,convergence)
(따라서 Σa
n은 수렴한다.)
(ii)
$\displaystyle \lim\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=L>1$ 이거나 $\displaystyle \infty$ 이면
$\displaystyle \sum a_n$ 은 발산한다.
(iii)
$\displaystyle \lim\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1$ 이면
$\displaystyle \sum a_n$ 은 수렴할수도 있고 발산할수도 있다.
(i.e. 비판정법으로는 판정불가)
pf.
(i)
$\displaystyle n$ 이 크면, 즉 적당한 자연수
$\displaystyle N$ 이 존재하여
$\displaystyle n\ge N$ 이면
$\displaystyle |a_{n+1}|\approx L|a_n|\;(0\le L < 1)$ 이므로
$\displaystyle |a_{N+1}|\approx L|a_N|,$
$\displaystyle |a_{N+2}|\approx L|a_{N+1}|\approx L^2|a_N|,\;\cdots$
$\displaystyle |a_{N+k}|\approx L^k|a_N|,\;\cdots$
이므로
$\displaystyle \sum_{n=N}^{\infty}|a_n|$ 은 기하급수형태이고 $\displaystyle 0\le L<1$ 이므로
$\displaystyle \sum_{n=N}^{\infty}|a_n|$ 은 수렴한다. 따라서
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$ 은 수렴한다.
(ii)
$\displaystyle L>1$ or
$\displaystyle L=\infty$ 이면, 충분히 큰
$\displaystyle N$ 에 대해
$\displaystyle n\ge N$ 일 때
$\displaystyle |a_{n+1}|>|a_n|$
이므로
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}|a_n|\ne0$ 이다.
따라서
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n\ne0$ 이다.
따라서
$\displaystyle \sum a_n$ 은 발산한다. (<= 발산판정법)
(iii)
$\displaystyle a_n=\frac1n \;\Rightarrow\; \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac1{n+1}}{\frac1n}=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=1$
이며
$\displaystyle \sum a_n$ 은 발산한다.
$\displaystyle a_n=\frac1{n^2} \;\Rightarrow\; \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac1{(n+1)^2}}{\frac1{n^2}}=1$
이며
$\displaystyle \sum a_n$ 은 수렴한다.