1. 1차원 등속/등가속 운동방정식을 미방으로 구하기
2. F=ma와 F=dp/dt 의 차이
3. -kx=F=ma 에서 진동 관련 식을 이끌어내기 / 탄성력을 가지면 단순조화진동을 하는 이유
4. 단순조화진동/감쇠진동/강제진동 중에 감쇠진동
5. 파동

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1. 1차원 등속/등가속 운동방정식을 미방으로 구하기 ¶

from 차동우 http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=324218 운동을 기술하는 방법 (3) 22min

$x(t)=x_0+vt$ 를 미방이 나오는 복잡한 방법으로 구하기

1차원 등속운동은

$v=\frac{dx}{dt}$ (= 일정)
$dx=v\,dt$
$\int dx=\int vdt$
$\int_{x(0)}^{x(t)} dx=\int_0^t vdt$

좌변은

$[x]_{x(0)}^{x(t)}$

우변은, $v$ 가 상수이므로

$v\int_0^t dt=v[t]_0^t=vt$

$x(0)\to x_0$ 로 쓰고, 좌변=우변 식을 다시 쓰면

$[x]_{x_0}^{x(t)}=x(t)-x_0=vt$

따라서

$x(t)=vt+x_0$

1차원 등가속운동은
$a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2}$ (=일정)

$\frac{d^2x}{dt^2}=a$ 이 미방을 풀면 된다.
근데 다음 두 미방이 같은 것이고

$\frac{dv}{dt}=a \;\Leftrightarrow\; \frac{dx}{dt}=v$

우변은 아까 구한 답이 $x(t)=vt+x_0$ 였으므로 변수 글자만 바꾸면 i.e. $x\to v,v\to a$ 치환하면

$v(t)=at+v_0 \;\Leftrightarrow\; x(t)=vt+x_0$

$v=\frac{dx}{dt}=at+v_0$
$dx=(at+v_0)dt$
$\int_{x_0}^{x(t)} dx=\int_0^t (at+v_0)dt$
$[x]_{x_0}^{x(t)}=\left[\frac12 at^2+v_0t\right]_0^t$

따라서

$x(t)=\frac12at^2+v_0t+x_0$

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2. F=ma와 F=dp/dt 의 차이 ¶

운동량,momentum 관련이지만 좀 잡다한 내용이라 저기보다 여기에 적음.
from http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=324218 차동우 물리1 여러 물체의 운동 (1) 39min

$\mathrm{(A)}\; m\frac{d\vec{v}}{dt}=\vec{F}$
$\mathrm{(B)}\; \frac{d\vec{p}}{dt}=\vec{F}$

이것은 엄밀히는 같지 않다. (A) 식은

$\frac{d}{dt}(m\vec{v})=\frac{dm}{dt}\vec{v}+m\frac{d\vec{v}}{dt}$

이므로

$\frac{dm}{dt}=0$ 이어야, 즉 질량이 변하지 않아야 (A)와 (B)가 같다.

따라서 (B) 식이 더 일반적인, 옳은, 질량이 변할 때도 성립하는 식이다.

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3. -kx=F=ma 에서 진동 관련 식을 이끌어내기 / 탄성력을 가지면 단순조화진동을 하는 이유 ¶

변위에 비례하는 복원력 즉 탄성력

$-kx=m\frac{d^2x}{dt^2}$
$\frac{d^2x}{dt^2}+\frac{k}{m}x=0$
(2차 선형 미분방정식)
여기서 $\omega^2=\frac{k}{m},\,\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$
$\frac{d^2x}{dt^2}+\omega^2 x=0$

잠시 $x=\cos \omega t$ 라고 추정해보면
$x'=-\omega\sin\omega t$
$x''=-\omega^2\cos\omega t=-\omega^2 x$
그러면 식이 성립함을 알 수 있다.

일반적으로 미방 풀이를 하면
$\frac{d^2x}{dt^2}+\omega^2 x=0$
Try

$x(t)=e^{\lambda t}$ 그러면
$\frac{dx}{dt}=\lambda e^{\lambda t}$
$\frac{d^2x}{dt^2}=\lambda^2 e^{\lambda t}$

$\lambda^2 e^{\lambda t}+\omega^2 e^{\lambda t}=0$
$\lambda^2 + \omega^2=0$
$\lambda=\pm\sqrt{-\omega^2}=\pm\omega i$
이것을 위의 $x(t)=e^{\lambda t}$ 에 대입하면
$x(t)=e^{\pm i\omega t}$
인데 이것보단 이것의 선형조합(linear combination)인
$x(t)=\alpha e^{i\omega t}+\beta e^{-i \omega t}$

독립변수가 시간(t)이면 (t=0일 때의 x(0), v(0) 같은 것?)을 초기조건(initial condition)이라 함.
독립변수가 공간(x?)이면 ()을 경계조건(boundary condition)이라 함. 전자기학에 나옴.
(from 차동우 물리1 http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=324218 11. 진동 (2) 28min)

초기조건을 $t=0\to x(0)=x_0,v(0)=0$ 로 하면
$v(t)=\frac{dx}{dt}=i\omega\alpha e^{i\omega t}-i\omega\beta e^{-i\omega t}$

$t=0$ 을 집어넣어 초기조건을 구하면
$x(0)=\alpha+\beta=x_0$
$v(0)=i\omega(\alpha-\beta)=0$
따라서 $\alpha=\beta$ 이고 $\alpha=\beta=\frac{x_0}{2}$

이것을 대입하면
$x(t)=x_0\frac{e^{i\omega t}+e^{-i\omega t}}{2}=x_0\cos\omega t$

참고로
$e^{\pm i\omega t}=\cos\omega t\pm i\sin\omega t$
$\cos\omega t=\frac{e^{i\omega t}+e^{-i\omega t}}{2}$
$\sin\omega t=\frac{e^{i\omega t}-e^{-i\omega t}}{2i}$

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4. 단순조화진동/감쇠진동/강제진동 중에 감쇠진동 ¶

단순조화진동 $F_k=-kx$
감쇠진동 $F_k=-kx,f=-bv=-b\frac{dx}{dt}$

마찰력(f)을 받아 진폭이 점점 줄어듦
마찰력은 속도(v)에 비례

강제진동 $F_k=-kx,f=-b\frac{dx}{dt},F_d=F_0 \cos \omega_0 t$

외부에서 밀어주는 힘이 있음 ex. 그네

그리하여, 감쇠진동을 분석하려면

$F=m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx-b\frac{dx}{dt}$
$\frac{d^2x}{dt^2}+2\gamma\frac{dx}{dt}+\omega^2x=0$

$2\gamma=\frac{b}{m},\; \omega^2=\frac{k}{m}$

$x(t)=e^{\lambda t}$
$\lambda^2 e^{\lambda t}+2\gamma\lambda e^{\lambda t}+\omega^2 e^{\lambda t}=0$
$\lambda^2 + 2\gamma\lambda+\omega^2=0$
$\lambda=-\gamma\pm\sqrt{\gamma^2-\omega^2}$
$\lambda_1=-\gamma+\sqrt{\gamma^2-\omega^2}$
$\lambda_2=-\gamma-\sqrt{\gamma^2-\omega^2}$
$x(t)=\alpha e^{\lambda_1 t}+\beta e^{\lambda_2 t}$

$=e^{-\gamma t}\left[\alpha e^{+\sqrt{\gamma^2-\omega^2}t}+\beta e^{-\sqrt{\gamma^2+\omega^2}t}\right]$

(1) $\omega>\gamma$ 작은감쇠진동

$\omega^2-\gamma^2=\omega_1^2$
$\sqrt{\gamma^2-\omega^2}=\sqrt{-\omega_1^2}=i\omega_1$
$\lambda_1=-\gamma+i\omega_1$
$\lambda_2=-\gamma-i\omega_1$
$x(t)=e^{-\gamma t}\left[ \alpha e^{i\omega_1 t} +\beta e^{-i\omega_1 t} \right]$

$=e^{-\gamma t}\left[ A\cos\omega_1 t + B\sin\omega_1 t \right] \;\; (A=\alpha+i\beta, B=\alpha-i\beta)$
$=\sqrt{A^2+B^2} e^{-\gamma t} \left[ -\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\cos\omega_1 t+\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\sin\omega_1 t \right]$

(2) $\omega=\gamma$ 임계진동 (임계감쇠진동)

$\lambda_1=-\gamma,\lambda_2=-\gamma$

$x(t)=\alpha e^{-\gamma t}+\beta t e^{-\gamma t}$

$=(\alpha+\beta t) e^{-\gamma t}$

(3) $\omega<\gamma$ 과잉감쇠진동

$\gamma^2-\omega^2=\omega_2^2$
$\lambda_1=-\gamma+\omega_2, \lambda_2=-\gamma-\omega_2$

$x(t)=e^{-\gamma t}\left[ \alpha e^{+\omega_2 t} + \beta e^{-\omega_2 t} \right]$

단순조화진동,simple_harmonic_oscillation

진동,oscillation,vibration

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