$\displaystyle y=f^{-1}(x) \Leftrightarrow x=f(y)$
$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\;\frac{dx}{dy}\;}$
$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\;\frac{dx}{dy}\;}$
정리 ¶
함수 $\displaystyle f$ 가 미분가능하고 역함수 $\displaystyle g=f^{-1}$ 를 가지면,
$\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f^{-1}(x)\right]=g'(x)=\frac1{f'(g(x))}$
단, $\displaystyle f'(g(x))\ne 0$
증명 ¶
역함수의 정의에 의해
연쇄법칙,chain_rule에 의해
$\displaystyle f(g(x))=x$
이다. 양변을 미분하면 연쇄법칙,chain_rule에 의해$\displaystyle f'(g(x))g'(x)=1$
이다. $\displaystyle f'(g(x))\ne0$ 이므로, 양변을 이것으로 나누면,$\displaystyle g'(x)=\frac1{f'(g(x))}$
이다.함수 $\displaystyle f$ 가 $\displaystyle x=a$ 에서 미분가능이고 $\displaystyle f(a)=b$ 일 때,
역함수 $\displaystyle f^{-1}(x)$ 의 $\displaystyle x=b$ 에서의 미분계수는,
역함수 $\displaystyle f^{-1}(x)$ 의 $\displaystyle x=b$ 에서의 미분계수는,
$\displaystyle (f^{-1})'(b)=\frac1{f'(f^{-1}(b))}=\frac1{f'(a)}$
이다.