정리 ¶

$\displaystyle \frac{d}{dx}\sec^{-1}x=\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$

증명 ¶

일단

$\displaystyle 1+\tan^2y=\sec^2y$
$\displaystyle \tan y=\sqrt{\sec^2y-1}$ ......(1)

이다.

아크시컨트를 $\displaystyle y$ 로 둔다.

$\displaystyle y=\sec^{-1}x$
$\displaystyle \sec y=x$ ........(2)

양변을 $\displaystyle x$ 에 대해 미분하면,

$\displaystyle \sec y\cdot\tan y\cdot y'=1$
$\displaystyle y'=\frac1{\sec y\cdot\tan y}$

여기에 (1), (2)를 적용하면,

$\displaystyle y'=\frac1{x\sqrt{x^2-1}}$