시컨트 적분 증명
How to integrate secant function
How to integrate secant function
증명 방법 1 ¶
$\displaystyle \int\sec xdx$
$\displaystyle =\int\sec x\cdot\frac{\sec x+\tan x}{\sec x+\tan x}dx$ (이런 기교가 필요하다)
$\displaystyle =\int\frac{\sec^2 x+\sec x\cdot\tan x}{\sec x+\tan x}dx$
그런데 이것은 분모를 미분하면 분자가 되는 형태이다. 그러므로,$\displaystyle =\int\frac{\sec^2 x+\sec x\cdot\tan x}{\sec x+\tan x}dx$
$\displaystyle =\int\frac{(\sec x+\tan x)'}{\sec x+\tan x}dx$
(1)에 의해,$\displaystyle =\ln|\sec x+\tan x|+C$
csc_x_적분_증명 방법도 이와 같다.증명 방법 2 ¶
$\displaystyle \int\sec x dx = \int\frac1{\cos x}dx$
![[http]](/wiki/imgs/http.png)
김도형 9. 1:20-24m
$\displaystyle =\int\frac{\cos x}{\cos^2 x}dx$
$\displaystyle =\int\frac{\cos x}{1-\sin^2 x}dx$
치환: $\displaystyle u=\sin x,\; du=\cos x dx$$\displaystyle =\int\frac{\cos x}{1-\sin^2 x}dx$
$\displaystyle =\int\frac1{1-u^2}du$
$\displaystyle =-\int\frac{du}{u^2-1}$
$\displaystyle =-\int\frac12\left(\frac1{u-1}-\frac1{u+1}\right)du$
$\displaystyle =-\frac12\left\lbrace\ln|u-1|-\ln|u+1|\right\rbrace + C$
$\displaystyle =\frac12\ln\left| \frac{u+1}{u-1} \right| + C$
$\displaystyle =\frac12\ln\left| \frac{1+\sin x}{1-\sin x} \right| + C$
$\displaystyle =\frac12\ln\left| \frac{(1+\sin x)^2}{1-\sin^2 x} \right| + C$
$\displaystyle =\frac12\ln\left|\left( \frac{1+\sin x}{\cos x} \right)^2 \right| + C$
$\displaystyle =\ln|\sec x+\tan x|+C$
via $\displaystyle =-\int\frac{du}{u^2-1}$
$\displaystyle =-\int\frac12\left(\frac1{u-1}-\frac1{u+1}\right)du$
$\displaystyle =-\frac12\left\lbrace\ln|u-1|-\ln|u+1|\right\rbrace + C$
$\displaystyle =\frac12\ln\left| \frac{u+1}{u-1} \right| + C$
$\displaystyle =\frac12\ln\left| \frac{1+\sin x}{1-\sin x} \right| + C$
$\displaystyle =\frac12\ln\left| \frac{(1+\sin x)^2}{1-\sin^2 x} \right| + C$
$\displaystyle =\frac12\ln\left|\left( \frac{1+\sin x}{\cos x} \right)^2 \right| + C$
$\displaystyle =\ln|\sec x+\tan x|+C$
김도형 9. 1:20-24mUp: 여러가지증명