3. Linear DE 여부 판별 예제 ¶
linear.
4. 2.1 해곡선,solution_curve ¶
qualitative_solution
(질적인, 정성적인)
수식으로 풀어낼 수 없는 경우.
(질적인, 정성적인)
수식으로 풀어낼 수 없는 경우.
analytic_solution
수식으로 풀어낼 수 있는 경우.
네 가지 다룰 해법은,
direction_field : the collection of all lineal elements
수식으로 풀어낼 수 있는 경우.
네 가지 다룰 해법은,
separable DE
linear DE
exact DE
substitution
lineal_element : a line segment of the slopelinear DE
exact DE
substitution
direction_field : the collection of all lineal elements
autonomous first-order DEs (자율 일차 미방?)
 "$y'=f(x,y)$")
:
 "$\frac{dP}{dt}=P(a-bP)$")
: 우변에 t가 없으므로, autonomous first order DE
=f(P) "$P(a-bP)=f(P)$")
=0 \mbox{ and } P(t)=\frac{a}{b} "$P(t)=0 \mbox{ and } P(t)=\frac{a}{b}$")
: equilibrium solutions
autonomous first order DE if  "$f(x,y)$")
is free of the independent variable
즉 독립변수
의 영향을 안받는다, 가 
만의 함수다.
i.e. "$y'=f(y)$")
c is 즉 독립변수
i.e.
critical point = equilibrium point = stationary point = 안정점
iff(c)=0
평형점,equilibrium_point - 작성중stable
asymtotically stable
가 커지면 그 점으로 수렴
(머물러 있기만 하는 걸로는 안됨)
그림에서 spiral으로 설명
ex.어떤 시간 이후에는 한 점 근처에 머무름
unstableasymtotically stable
(머물러 있기만 하는 걸로는 안됨)
그림에서 spiral으로 설명
이 식이 0이 되도록 하는 P값이 critical point이므로,
: critical points
5. 2.2 Separable DEs (1) ¶
뭐에 대해 분리가 가능하냐면, '변수'에 대해서.
변수분리형미분방정식
일계미방
can be written as
h(y) "$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)$")
그러면, the DE is called separable DE.
}dy=g(x)dx,\mbox{ if }h(y)\ne0 "$\frac1{h(y)}dy=g(x)dx,\mbox{ if }h(y)\ne0$")
이걸 어떻게 풀 것인가?
해(solution)를
⇒
)\phi%27(x)dx=\int g(x)dx "$\int p(\phi(x))\phi'(x)dx=\int g(x)dx$")
⇒
dy=\int g(x)dx "$\int p(y)dy=\int g(x)dx$")
⇒
=G(x)+C "$P(y)=G(x)+C$")
⇒
⇒
6. 2.2 Separable DEs (2) ¶
ex1)
dy-ydx=0 "$(1+x)dy-ydx=0$")
general sol)
=-3 "$\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y},\;y(4)=-3$")
, particular sol.?
sol)
대입하면 
인데, 이 문제에서는 
이므로 
ex3)
sol)
y%27=e^y\sin(2x),\;y(0)=0 "$\cos x(e^{2y}-y)y'=e^y\sin(2x),\;y(0)=0$")
IVP임. separable임.
sol)
i) 
: implicit sol.
 "$y=C(1+x)$")
: general sol. (explicit sol.)
엄밀하게는, 양변에 지수함수를 취하여
 "$y=\pm e^C(1+x)$")
ii) 
ex2)엄밀하게는, 양변에 지수함수를 취하여
여기서 
가 상수.
general sol.에서 C=0이면 y=0
∴ singular sol.은 없다.
∴ singular sol.은 없다.
i) 
dy=dx "$\left(\frac{1/4}{y-2}-\frac{1/4}{y+2}\right)dy=dx$")
ii) y=2: take c=0
iii) y=-2: singular sol.
ex4): general sol., explicit sol.
iii) y=-2: singular sol.
IVP임. separable임.
7. 2.3 Linear DEs (1) ¶
선형미분방정식
A first-order DE of the form
\frac{dy}{dx}+a_0(x)y=g(x) "$a_1(x)\frac{dy}{dx}+a_0(x)y=g(x)$")
is said to be a first order linear DE in y
homogeneous: g(x)=0
nonhomogeneous: g(x)≠0
nonhomogeneous: g(x)≠0
standard form: 위의 식 양변을  "$a_1(x)$")
로 나누어서
y=f(x) "$\frac{dy}{dx}+p(x)y=f(x)$")
꼴로 표현한 것
and 
are continuous fts(functions) on an interval 
이런 미분방정식의 general sol.은 합
로 표현이 되는데
는 homogeneous equation y=0 "$y'+p(x)y=0$")
의 general solution.
는 y=f(x) "$y'+p(x)y=f(x)$")
를 만족하는 솔루션 하나.
왜 그런가?
(homogeneous equation의 solution이다 라고 해서, 
로 쓰기도 한다.)
p는 particular.
매개변수변환법. 가끔은 매개변수변화법?
How can we solve this DE?1. Solve the homogeneous DE that is separable:
How can we get ?
By variation of parameters (
=u(x)y_1(x), "$y_p(x)=u(x)y_1(x),$")
 "$u(x)$")
: not a constant
)
By variation of parameters (
8. 2.3 Linear DEs (1-1) ¶
yc를 구하기
1. Solve the homogeneous DE that is separable:
y=0 "$\frac{dy}{dx}+p(x)y=0$")
dx "$\frac1ydy=-p(x)dx$")
dx "$\ln|y|=-\int p(x)dx$")
dx}=Cy_1 "$y_c=Ce^{-\int p(x)dx}=Cy_1$")
yp를 구하기
변수분리하면
적분하면
참고로, yc와 yp는 independent해야 한다. 즉
(알파가 상수)
이면 안된다. 왜냐하면, 아까 
를 만족하는게 라고 했었는데, 가 위와 같은 모양이면, linear 성질에 의해
=\alpha L y_c=\alpha\cdot0=0 "$L(\alpha y_c)=\alpha L y_c=\alpha\cdot0=0$")
이므로 는 을 만족하지 않는다.
즉 particular solution이 아니라 homogeneous equation의 solution이 되버리는 것이다.
즉 particular solution이 아니라 homogeneous equation의 solution이 되버리는 것이다.
아무튼 상수가 아닌 를 구해낼 방법이 있다.
2. Find a solution of nonhomogeneous DE that is independent with  "$y_c(x)$")
.
y_1(x) "$y_p=u(x)y_1(x)$")
라 하고 (variation of parameters)
이를 에 대입
=f "$u'y_1+uy_1'+p(uy_1)=f$")
=f "$u'y_1+u(y_1'+py_1)=f$")
}{y_1}dx "$\int du=\int \frac{f(x)}{y_1}dx$")
=\int f(x)e^{\int p(x)dx}dx "$u(x)=\int f(x)e^{\int p(x)dx}dx$")
∴ general solution:
dx}+Ce^{-\int p(x)dx}\int f(x)e^{-\int p(x)dx}dx "$=Ce^{-\int p(x)dx}+Ce^{-\int p(x)dx}\int f(x)e^{-\int p(x)dx}dx$")
dx}\int f(x)e^{-\int p(x)dx}dx "$=Ce^{-\int p(x)dx}\int f(x)e^{-\int p(x)dx}dx$")
이를
여기서 왼쪽의 두개 term은 y'임. ( 
)
두번째와 세번째 텀을 u로 묶으면
두번째와 세번째 텀을 u로 묶으면
: separable
9. 2.3 Linear DEs (2) ¶
그리하여 정리하면
Linear DEs
- the solution of nonhomogeneous DE:
dx}\int e^{\int p(x)dx}f(x)dx "$y_p=e^{-\int p(x)dx}\int e^{\int p(x)dx}f(x)dx$")
- general solution of a first-order linear DE:
dx}+e^{-\int p(x)dx}\int e^{\int p(x)dx}f(x)dx "$y=y_c+y_p=Ce^{-\int p(x)dx}+e^{-\int p(x)dx}\int e^{\int p(x)dx}f(x)dx$")
dx}\int e^{\int p(x)dx}f(x)dx "$y=e^{-\int p(x)dx}\int e^{\int p(x)dx}f(x)dx$")
![$\frac{d}{dx}\left[e^{\int p(x)dx}y\right]=e^{\int p(x)dx}f(x)$](/wiki/cgi-bin/mimetex.cgi?\fs7 \frac{d}{dx}\left[e^{\int p(x)dx}y\right]=e^{\int p(x)dx}f(x) "$\frac{d}{dx}\left[e^{\int p(x)dx}y\right]=e^{\int p(x)dx}f(x)$")
뒤의 integral에서 나오는 상수는 무시하면 안된다or 묶어서
or
ex1)
separable?
general sol. 
sol)
=-3 "$p(x)=-3$")
=6 "$f(x)=6$")
 "$=e^{3x}(-2e^{-3x}+C)$")
ex3)
general sol. 
If
=\frac{x}{x^2-9}, "$p(x)=\frac{x}{x^2-9},$")
=0 "$f(x)=0$")
(this has meaning on x<-3, x>3, i.e. the DE is considered on the intervals)
(의미를 갖는 구간, 즉 DE가 고려되는 구간은 x<-3, x>3)
sol)If
(this has meaning on x<-3, x>3, i.e. the DE is considered on the intervals)
10. 2.3 Linear DEs (3) ¶
Nonelementary functions
이다.
: antiderivatives cannot be expressed by elementary functions
예를 들어 error function:
=\frac2{\sqrt{\pi}}\int_0^xe^{-t^2}dt "$\operatorname{erf}(x)=\frac2{\sqrt{\pi}}\int_0^xe^{-t^2}dt$")
complementary error function:
=\frac2{\sqrt{\pi}}\int_x^{\infty}e^{-t^2}dt "$\operatorname{erfc}(x)=\frac2{\sqrt{\pi}}\int_x^{\infty}e^{-t^2}dt$")
+\operatorname{erfc}(x)=1 "$\operatorname{erf}(x)+\operatorname{erfc}(x)=1$")
ex6)
=1, "$\frac{dy}{dx}-2xy=2,\;y(0)=1,$")
particular solution
) "$y=e^{x^2}(1+\sqrt{\pi}\mathrm{erf}(x))$")
구체적으로 쓰면 (강의내 파란색 필기에서는)
=-1 "$p(y)=-1$")
=y^2 "$f(y)=y^2$")
=e^{\int 1dy}\int y^2 e^{-\int dy}dyf(y)=y^2 "$x(y)=e^{\int 1dy}\int y^2 e^{-\int dy}dyf(y)=y^2$")
particular solution
: not separable, not linear in y
general solution:: linear in x
11. 2.4 Exact DEs (1) ¶
A differential expression
dx+N(x,y)dy "$M(x,y)dx+N(x,y)dy$")
을 exact differential(완전 미분)이라고 부른다. in a region 
of the xy-plane if
\mbox{ and }\frac{\partial f}{\partial y}=N(x,y) "$\exists f\mbox{ s.t. }\frac{\partial f}{\partial x}=M(x,y)\mbox{ and }\frac{\partial f}{\partial y}=N(x,y)$")
는 다변수함수.
Def.
A first-order DE of the form
dx+N(x,y)dy=0 "$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$")
: exact DE
if
: exact differential
If
 "$z=f(x,y)$")
,
then the 
전미분,total_differential is given by
∴
=C\qquad \Leftrightarrow\qquad \frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy=0 "$f(x,y)=C\qquad \Leftrightarrow\qquad \frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy=0$")
이런 1계 미분방정식으로 표현
How can get the solution of an exact DE?
A first-order DE of the form
전미분,total_differential is given by이런 1계 미분방정식으로 표현
- Find
or - Find
by
or
⇒ Sol.
12. 2.4 Exact DEs (2) ¶
Thm 2.1
\mbox{ and }N(x,y) "$M(x,y)\mbox{ and }N(x,y)$")
: continuous and have continuous first partial derivatives
in:\;a<x<b,\,c<y<d\rbrace "$R=\lbrace(x,y):\;a<x<b,\,c<y<d\rbrace$")
⇒
: exact differential
RK.
: exact DE
in
⇔
⇔
증명
Assume that : exact differential
가정에서 모든 2차 편미분이 연속이므로, 
Assume that
∴ 
ex1)
dy=0 "$2xydx+(x^2-1)dy=0$")
: separable, linear in y, exact?
general sol.
( defined on
)
sol)
: exact
=\int 2xydx+g(y)=x^2y+g(y), "$f(x,y)=\int 2xydx+g(y)=x^2y+g(y),$")
=N=x^2-1 "$f_y=x^2+g'(y)=N=x^2-1$")
∴=-1,\;g(y)=-y+C "$g'(y)=-1,\;g(y)=-y+C$")
∴=x^2y-y+C "$f(x,y)=x^2y-y+C$")
∴ General solution:
( defined on
∴
∴
∴ General solution:
ex3)
},\;y(0)=2 "$\frac{dy}{dx}=\frac{xy^2-\cos x\sin x}{y(1-x^2)},\;y(0)=2$")
: not separable, not linear in y, not linear in x, exact?
implicit sol.
-\cos^2x=C "$y^2(1-x^2)-\cos^2x=C$")
sol)
: exact
=\int y(1-x^2)dy+h(x) "$f(x,y)=\int y(1-x^2)dy+h(x)$")
+h(x), "$=\frac12y^2(1-x^2)+h(x),$")
=-xy^2+\cos x \sin x "$f_x=-y^2x+h'(x)=-xy^2+\cos x \sin x$")
=\int \cos x \sin x dx "$h(x)=\int \cos x \sin x dx$")
(t=sinx 치환)
∴ general solution:
+\sin^2x=C "$y^2(1-x^2)+\sin^2x=C$")