Sub:
베르누이미분방정식
상미분방정식,ordinary_differential_equation,ODE
최정환_미분방정식및연습_2013
완전미분exact_differential
완전미방exact_DE
미분연산자,differentiation_operator
미분연산자,differential_operator
코시오일러방정식Cauchy-Euler_equation
선형미방linear_DE
일계미방first-order_DE
{상미분방정식,ordinary_differential_equation,ODE
최정환_미분방정식및연습_2013
완전미분exact_differential
완전미방exact_DE
미분연산자,differentiation_operator
미분연산자,differential_operator
코시오일러방정식Cauchy-Euler_equation
선형미방linear_DE
일계미방first-order_DE
}
{
DE에서
이 해이면 homogeneous DE임.
A differential equation is homogeneous if is a solution.
}
{
DE에서
A differential equation is homogeneous if
}
동차미분방정식,제차미분방정식,homogeneous_differential_equation
비제차미방nonhomogeneous_DE
비제차상미방nonhomogeneous_ODE 의 일반해는
초기조건initial_condition
특수해particular_solution
일반해general_solution
매개변수변환variation_of_parameters
미정계수법method_of_undetermined_coefficients
특성방정식characteristic_equation; 보조방정식
비제차미방nonhomogeneous_DE
비제차상미방nonhomogeneous_ODE 의 일반해는
초기조건initial_condition
특수해particular_solution
일반해general_solution
매개변수변환variation_of_parameters
미정계수법method_of_undetermined_coefficients
특성방정식characteristic_equation; 보조방정식
Contents
- 1. intro
- 2. Examples
- 3. 분류
- 4. 미분방정식의 해
- 5. 일계선형미방
- 6. 적분인자로 풀 수 있는 1계 (ess. eng. math)
- 7. 1계 Separable DE (ess. eng. math)
- 8. 2계 선형 with 상수 계수: The Homogeneous Case (ess. eng. math)
- 9. 2계 선형 with 상수 계수: The Inhomogeneous Case (ess. eng. math)
- 10. 변수분리법, 변수분리형, separable
- 11. 변수분리의 확장
- 12. 초기치문제 IVP
- 13. 완전미방형 exact DE
- 14. 완전미분방정식의 판별법
- 15. 완전미방의 풀이법
- 16. 완전미방 예제
- 17. 불완전 미분방정식 and 적분인자
- 18. 선형미분방정식 linear DE
- 19. 완전형 Exact Equations
- 20. 치환형 Substitution
- 21. linear DEs of higher order (고계 선형 미방)
- 22. to read
- 23. Ref.
1. intro ¶
뉴턴의 제 2법칙은
이고 거리를 x로 하면
=m\frac{d^2x}{dt^2} "$F(x)=m\frac{d^2x}{dt^2}$")
거리가 시간 t에 대한 함수임을 표시하면
)=m\frac{d^2x(t)}{dt^2} "$F(x(t))=m\frac{d^2x(t)}{dt^2}$")
(wpko 상미분방정식)
상수  "$a,k,C(k=\ln a)$")
가 있을 때,
지수함수 "$y=Ca^x=Ce^{kx}(=Ce^{x\ln a})$")
의 도함수는
(Ca^x)=ky "$y'=(\ln a)(Ca^x)=ky$")
즉 자신의 상수배가 된다.
이런 성질을 갖는 함수는 또 없다. (지수함수만 그렇다.)
다시말해
이면 
이다.
지수함수
이런 성질을 갖는 함수는 또 없다. (지수함수만 그렇다.)
다시말해
보이기:
=kf(x) "$f'(x)=kf(x)$")
라고 하자. (이하 ekx 로 양변을 나눈다. 어디서 온 아이디어?)
=\frac{f(x)}{e^{kx}}=f(x)e^{-kx} "$g(x)=\frac{f(x)}{e^{kx}}=f(x)e^{-kx}$")
라고 하면 (이하 x에 대해 미분한다)
=f%27(x)e^{-kx}+f(x)(-ke^{-kx}) "$g'(x)=f'(x)e^{-kx}+f(x)(-ke^{-kx})$")
-kf(x))e^{-kx}=0 "$=(f'(x)-kf(x))e^{-kx}=0$")
따라서
=C "$g(x)=C$")
이고 다시 말해
=Ce^{kx} "$f(x)=Ce^{kx}$")
이다.
(서울대기초수학학습교재 p173)
현재 물리physics에 1차원 등속운동, 등가속운동 공식을 기본적인 미방을 풀어서 유도하는 과정 있음.
2. Examples ¶
떨어지는 물체
자유낙하방정식
스프링(k)에 매달려 진동하는 (질량 m) 물체
(vibrating mass on a spring)
조화진동방정식
(vibrating mass on a spring)
온도가 
인 물체를 온도가 A인 공간에 놓으면 시간 t에서 물체의 온도  "$y=f(t)$")
는 뉴턴의 냉각법칙에 의해 다음으로 주어진다.
=A+(y_0-A)e^{-kt},\quad\quad k>0 "$y=f(t)=A+(y_0-A)e^{-kt},\quad\quad k>0$")
이 때 y'을 y를 이용하여 나타내고, 이 식이 의미하는 바를 설명하라.
Sol. 지수미분법칙을 쓰면
e^{-kt}=-k(y-A) "$y'=-k(y_0-A)e^{-kt}=-k(y-A)$")
물체의 온도가 공간의 온도보다 낮으면
>0 "$y'=-k(y-A)>0$")
이므로 물체의 온도는 올라가고, 물체의 온도가 공간의 온도보다 높으면
<0 "$y'=-k(y-A)<0$")
이므로 물체의 온도는 내려간다. 또한 물체의 온도의 변화율은 물체와 공간의 온도차이에 비례한다.
Contagion (전염, 전염병)
가정
- N명의 집단
- 감염속도(speed of infection)는 감염된 사람 수에 비례
- 감염되지 않은 사람 수에도 비례
모델링
 "$x'=kx(N-x)$")
풀면 DE의 해는
=\frac{N}{1+(N-1)e^{kNt}} "$x=x(t)=\frac{N}{1+(N-1)e^{kNt}}$")
참고로 S자 curve를 그림
감염된 사람 수  "$x(t)$")
감염속도}{dt} "$\frac{dx(t)}{dt}$")
coefficient
그러면 DE는감염속도
coefficient
![[http]](/wiki/imgs/http.png)
3. 분류 ¶
상미방 ODE
편미방 PDE
(독립변수의 수에 따라)
편미방 PDE
(독립변수의 수에 따라)
계수 order 에 따라
1계 first-order
2계 second-order
higher-order
차수 degree2계 second-order
higher-order
선형 linear
비선형 nonlinear
(
선형성,linearity에 따라. 중첩원리,superposition_principle 도 관련)
{
DE가 선형이라는 것은, 독립변수의 선형 함수임을 뜻함
= "$f(x,y,y',\cdots)=$")
종속변수끼리 곱해지는 일은 없음
비선형 nonlinear
(
선형성,linearity에 따라. 중첩원리,superposition_principle 도 관련){
DE가 선형이라는 것은, 독립변수의 선형 함수임을 뜻함
종속변수끼리 곱해지는 일은 없음
제차 homogeneous
비제차 inhomogeneous
비제차 inhomogeneous
등의 여부에 따라 분류하고,
문제도 분류하는데.. 이런 것들이 있다.
문제도 분류하는데.. 이런 것들이 있다.
IVP initial value problem 초기치문제 (한 점에서의 값이 주어질 경우)
BVP boundary value problem 경계치문제 (둘 이상의 점에서의 값이 주어질 경우)
BVP boundary value problem 경계치문제 (둘 이상의 점에서의 값이 주어질 경우)
경계값문제BVP 경계값 문제, boundary value problem, BVP
초기값문제IVP 초기값문제, initial value problem, IVP
IVP(initial value problem) : 조건이 하나 (initial condition)
BVP(boundary value problem) : 조건이 둘 이상
초기값문제IVP 초기값문제, initial value problem, IVP
IVP(initial value problem) : 조건이 하나 (initial condition)
BVP(boundary value problem) : 조건이 둘 이상
4. 미분방정식의 해 ¶
ex.
의 해는 
검증: 양변 미분하면
검증: 양변 미분하면
검증: 양변 미분하면
4.1. 해의 분류 ¶
일반해(general solution)
특수해(particular solution)
특이해(singular solution)
자명해(trivial solution)
비자명해(nontrivial solution)
특수해(particular solution)
특이해(singular solution)
자명해(trivial solution)
비자명해(nontrivial solution)
5. 일계선형미방 ¶
A first-order diff. eq. is linear if it has the form
for some functions p and q............(1)
일반적 접근법(general approach to solving)
Let
=e^{\int p(x)dx} "$g(x)=e^{\int p(x)dx}$")
and notice that
=p(x)e^{\int p(x)dx}=p(x)g(x) "$g'(x)=p(x)e^{\int p(x)dx}=p(x)g(x)$")
..............(2)
다음 원래 식(1)에  "$g(x)$")
를 곱하여
y%27+p(x)g(x)y=q(x)g(x) "$g(x)y'+p(x)g(x)y=q(x)g(x)$")
여기에 (2)를 적용하면, (가운데 g(x) "$p(x)g(x)$")
에)
y%27+g%27(x)y=q(x)g(x) "$g(x)y'+g'(x)y=q(x)g(x)$")
좌변이 곱의 미분 꼴.
y)=q(x)g(x) "$\frac{d}{dx}(g(x)y)=q(x)g(x)$")
양변을 적분하면,
y=\int q(x)g(x)dx+c "$g(x)y=\int q(x)g(x)dx+c$")
\ne0 "$g(x)\ne0$")
이면 y에 대해 풀 수 있다.
=\frac1{g(x)}\int q(x)g(x)dx+\frac{c}{g(x)} "$y(x)=\frac1{g(x)}\int q(x)g(x)dx+\frac{c}{g(x)}$")
Let
요약. 꼴이면, 먼저
dx} "$e^{\int p(x)dx}$")
를 계산한다. 이것을 선형(미분)방정식의 적분인자,integrating_factor라 한다.
다음, 미방(DE)를 적분인자(IF)로 곱한다.
다음, 좌변이 곱의 미분꼴로 된 것을 해결한다. 우변은 그냥 x에 대한 함수이다.
다음, y에 대해 풀어 일반해(general solution)를 얻는다.
다음, 미방(DE)를 적분인자(IF)로 곱한다.
다음, 좌변이 곱의 미분꼴로 된 것을 해결한다. 우변은 그냥 x에 대한 함수이다.
다음, y에 대해 풀어 일반해(general solution)를 얻는다.
(from O'Neil 7e 1.2)
1계 선형 미분방정식의 적분인자법
method of integrating factor in first order linear differential equation
https://freshrimpsushi.github.io/posts/method-of-integrating-factor-in-first-order-linear-differential-equation/
(from Boyce 11e)
method of integrating factor in first order linear differential equation
https://freshrimpsushi.github.io/posts/method-of-integrating-factor-in-first-order-linear-differential-equation/
(from Boyce 11e)
6. 적분인자로 풀 수 있는 1계 (ess. eng. math) ¶
Steps
1. 적분인자를 계산
2. 미방을 적분인자로 곱함
3. 왼쪽은y(x)) "$\frac{d}{dx}(I(x)y(x))$")
꼴이 될거임
4. Rearrange to get=\frac1{I(x)}\int g(x)I(x)dx "$y(x)=\frac1{I(x)}\int g(x)I(x)dx$")
and integrate
1. 적분인자를 계산
2. 미방을 적분인자로 곱함
3. 왼쪽은
4. Rearrange to get
이것은 ,g(x)I(x) "$f(x),g(x)I(x)$")
를 적분하는 것에 의존한다. 따라서 언제나 가능하지는 않다.
Ex. Solve
Sol.
=1,g(x)=x "$f(x)=1,g(x)=x$")
integ. factor is
DE에 IF를 곱하면
=e^{2x} "$\frac{d}{dy}(ye^x)=e^{2x}$")
 "$y=e^{-x}\left(\frac12e^{2x}+c\right)$")
8. 2계 선형 with 상수 계수: The Homogeneous Case (ess. eng. math) ¶
이차방정식과 비교 가능.
먼저 characteristic_equation (CE) 을 만든다.
세 경우가 있다.
먼저 characteristic_equation (CE) 을 만든다.
1. 실근 
and 
CE는
이것의 해는
so the DE's general sol. is
=Ae^{-2x}+Be^x "$y(x)=Ae^{-2x}+Be^x$")
Ex.
CE is
^2=0 "$(p+3)^2=0$")
이것은 중근
을 가짐
그리하여 DE의 general sol.은
=Ae^{-3x}+Bxe^{-3x} "$y(x)=Ae^{-3x}+Bxe^{-3x}$")
Ex.
(undamped simple harmonic motion)
CE는
근은
so the DE has the general sol.
=A\cos 2x+B\sin 2x "$y(x)=A\cos 2x+B\sin 2x$")
Ex.
(damped simple harmonic motion)
CE is
which has complex roots
so the general sol. is
=e^{-x}(A\cos x+B\sin x) "$y(x)=e^{-x}(A\cos x+B\sin x)$")
특수해(particular solution)들은
=e^{p_1x} "$y_1(x)=e^{p_1x}$")
=e^{p_2x} "$y_2(x)=e^{p_2x}$")
and the general solution is
+By_2(x)=Ae^{p_1x}+Be^{p_2x} "$Ay_1(x)+By_2(x)=Ae^{p_1x}+Be^{p_2x}$")
2. 한 실근 특수해들은
=e^{px} "$y_1(x)=e^{px}$")
=pe^{px} "$y_2(x)=pe^{px}$")
and the general sol. is
+By_2(x)=Ae^{px}+Bpe^{px} "$Ay_1(x)+By_2(x)=Ae^{px}+Bpe^{px}$")
3. 복소근들 특수해들은
=e^{rx}\cos(sx) "$y_1(x)=e^{rx}\cos(sx)$")
=e^{rx}\sin(sx) "$y_2(x)=e^{rx}\sin(sx)$")
general sol. is
+By_2(x)=Ae^{rx}\cos(sx)+Be^{rx}\sin(sx)=e^{rx}(A\cos(sx)+B\sin(sx)) "$Ay_1(x)+By_2(x)=Ae^{rx}\cos(sx)+Be^{rx}\sin(sx)=e^{rx}(A\cos(sx)+B\sin(sx))$")
Ex.이것의 해는
이것은 중근
근은
which has complex roots
10. 변수분리법, 변수분리형, separable ¶
ex.
ex.
참고:
인 이유는,
라고 놓으면
ex.
여기서 
이므로,
+c_1 "$=\ln(x^2+1)+c_1$")
ex.
...try...
...fail... 답:
ex.
} "$\frac{dy}{dx}=\frac1{x(x-1)}$")
}=\frac1{(x-1)-x}\times\left(\frac1{x}-\frac1{x-1}\right) "$\frac1{x(x-1)}=\frac1{(x-1)-x}\times\left(\frac1{x}-\frac1{x-1}\right)$")
(부분분수분해)
dx "$dy=\left(\frac1{x-1}-\frac1{x}\right)dx$")
ex.
y%27=1 "$(x^2-1)y'=1$")
sol.
(x-1)} "$\frac{dy}{dx}=\frac1{(x+1)(x-1)}$")
![$dy=\frac1{(x+1)-(x-1)}\left[\frac1{x-1}-\frac1{x+1}\right]dx$](/wiki/cgi-bin/mimetex.cgi?\fs7 dy=\frac1{(x+1)-(x-1)}\left[\frac1{x-1}-\frac1{x+1}\right]dx "$dy=\frac1{(x+1)-(x-1)}\left[\frac1{x-1}-\frac1{x+1}\right]dx$")
dx "$dy=\frac12\left(\frac1{x-1}-\frac1{x+1}\right)dx$")
+C_1 "$y=\frac12\left(\ln|x-1|-\ln|x+1|\right)+C_1$")
ex.
11. 변수분리의 확장 ¶
이걸
그다음 분자분모 바꾸기?
이렇게 한건가?
ex.
sol.
i)
ii)
iii)
양변에서 u를 뺌
변수분리
적분
치환했던 것을 복구
i)
ex.
i) 치환
ii)
iii) i)과 ii) 식을 합치면
로 치환하면 
therefore,
(t는 이렇게 나왔으므로, 위의 ..=t치환을 다시 상기)
^2+1=\frac{c_2}{x} "$(\frac{y}{x})^2+1=\frac{c_2}{x}$")
^2=\left(\frac{c_2}{2}\right)^2 "$y^2+\left(x-\frac{c_2}{2}\right)^2=\left(\frac{c_2}{2}\right)^2$")
이런 원의 방정식이 나옴
이런 원의 방정식이 나옴
ex.
sol. 양변을 
으로 나누면
^2+y%27=1+(\frac{y}{x})^3 "$(\frac{y}{x})^2+y'=1+(\frac{y}{x})^3$")
i)
ii)
=1+u^3 "$u^2\cdot(x\frac{du}{dx}+u)=1+u^3$")
 "$y^3=x^2\cdot(3\ln|x|+c_2)$")
13. 완전미방형 exact DE ¶
(http://kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=1215229 5강: 완전 미분방정식 개념) 참조하여 작성됨.
이변수함수  "$u=f(x,y)$")
가 있으면
-f(x,y)}{\Delta x}=\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial x},u_x,f_x "$\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}=\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial x},u_x,f_x$")
u가 y에 관해 미분가능할 때, 극한값:
-f(x,y)}{\Delta y}=\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial y},u_y,f_y "$\lim_{\Delta y\to0}\frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}=\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial y},u_y,f_y$")
의 편도함수 ,\,f_{yx}(x,y) "$f_{xy}(x,y),\,f_{yx}(x,y)$")
가 점 (a,b)에서 연속이면
=f_{yx}(a,b) "$f_{xy}(a,b)=f_{yx}(a,b)$")
=\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x} "$f_{xy}=\frac{\partial f}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}$")
=\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y} "$f_{yx}=\frac{\partial f}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)=\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}$")
exact DE를 풀기 위해선 전미분 개념을 먼저 알아야.
x, y: 독립변수
u: 종속변수
u가 x에 관해 미분가능할 때, 극한값:u: 종속변수
완전 미분 방정식
⇒ solution ={\rm const.} "$f(x,y)={\rm const.}$")
15. 완전미방의 풀이법 ¶
1)
만족하면 완전미방
를 찾자.
2)
=\int Mdx+k(y)=c_1 "$f(x,y)=\int Mdx+k(y)=c_1$")
......①
3)
from (1),
![$\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left[\int M(x,y)dx\right]+\frac{d}{dy}k(y)=N(x,y)$](/wiki/cgi-bin/mimetex.cgi?\fs7 \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left[\int M(x,y)dx\right]+\frac{d}{dy}k(y)=N(x,y) "$\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left[\int M(x,y)dx\right]+\frac{d}{dy}k(y)=N(x,y)$")
참고로 k는 y만에 대한 함수라서 편미분을 할 필요가 없고 그냥 미분으로 표기? CHK
![$\frac{d}{dy}k(y)=N(x,y)-\frac{\partial}{\partial y}\left[\int M(x,y)dx\right]+c_2$](/wiki/cgi-bin/mimetex.cgi?\fs7 \frac{d}{dy}k(y)=N(x,y)-\frac{\partial}{\partial y}\left[\int M(x,y)dx\right]+c_2 "$\frac{d}{dy}k(y)=N(x,y)-\frac{\partial}{\partial y}\left[\int M(x,y)dx\right]+c_2$")
......② (여기서 
는 필요없음)
4)
②를 ①에 대입
16. 완전미방 예제 ¶
ex.
이건 변수분리로 풀린다.
하지만 완전미방 해법으로 푼다.
dx+xdy=0 "$(y-1)dx+xdy=0$")
1)
(완전미방)
2)
dx+k(y)=c_1 "$f=\int(y-1)dx+k(y)=c_1$")
=c_1 "$=xy-x+k(y)=c_1$")
..............(1)
이제 k를 찾는다.
3)
from (1),
=x "$\frac{\partial f}{\partial y}=x+k'(y)=x$")
=0\;\Rightarrow\;k(y)=c_2 "$k'(y)=0\;\Rightarrow\;k(y)=c_2$")
4)
하지만 완전미방 해법으로 푼다.
이 
는 바로 위 3) 에서 나온 것이고,  "$x+k'(y)$")
는 (1)에서 나온 것이다.
ex.
dy=0 "$2xydx+(x^2-1)dy=0$")
sol.
i)
ii)
=c_1 "$f=\int 2xydx+k(y)=c_1$")
=c_1 "$f=x^2y+k(y)=c_1$")
..........(1)
iii)
from (1),
 "$\frac{\partial f}{\partial y}=x^2+k'(y)$")
i.e.
=x^2-1 "$\frac{\partial f}{\partial y}=x^2+\frac{d}{dy}k(y)=x^2-1$")
therefore
=-1 \;\;\Rightarrow k(y)=-y+c_2 "$k'(y)=-1 \;\;\Rightarrow k(y)=-y+c_2$")
..............(2)
iv) (1)과 (2)를 합치면,
ex. (이건 변수분리가 되지 않는다)
dy=2ydx "$(3y-2x)dy=2ydx$")
dx가 앞으로 오는게 보기 좋으므로(??)
dy=0 "$2ydx+(2x-3y)dy=0$")
1)
이렇게 완미방인걸 체크했다.
2)
=c_1 "$f=2xy+k(y)=c_1$")
..........(1)
3)
from (1),
=2x-3y "$\frac{\partial f}{\partial y}=2x+k'(y)=2x-3y$")
=-3y "$k'(y)=-3y$")
=-\frac32y^2+c_2 "$k(y)=-\frac32y^2+c_2$")
............(2)
4)
이렇게 완미방인걸 체크했다.
ex.
+(5y-3x-5)y%27=0 "$(4x-3y+1)+(5y-3x-5)y'=0$")
dx+(5y-3x-5)dy=0 "$(4x-3y+1)dx+(5y-3x-5)dy=0$")
1)
2)
dx+k(y)=c_1 "$f=\int(4x-3y+1)dx+k(y)=c_1$")
=c_1 "$f=2x^2-3xy+x+k(y)=c_1$")
.........(1)
3)
from (1),
=5y-3x-5 "$\frac{\partial f}{\partial y}=-3x+k'(y)=5y-3x-5$")
=5y-5 "$k'(y)=5y-5$")
=\int(5y-5)dy "$k(y)=\int(5y-5)dy$")
=\frac52y^2-5y+c_2 "$k(y)=\frac52y^2-5y+c_2$")
..........(2)
4)
ex.
dx+(3y^2+2y+\cos(x+y))dy=0 "$\cos(x+y)dx+(3y^2+2y+\cos(x+y))dy=0$")
sol.
\rightarrow \frac{\partial M}{\partial y}=-\sin(x+y) "$M=\frac{\partial f}{\partial x}=\cos(x+y)\rightarrow \frac{\partial M}{\partial y}=-\sin(x+y)$")
\rightarrow \frac{\partial N}{\partial x}=-\sin(x+y) "$N=\frac{\partial f}{\partial y}=3y^2+2y+\cos(x+y)\rightarrow \frac{\partial N}{\partial x}=-\sin(x+y)$")
1)
임을 확인하였음.
2)
(?)
dx+k(y)=c_1 "$f=\int\cos(x+y)dx+k(y)=c_1$")
+k(y)=c_1 "$f=\sin(x+y)+k(y)=c_1$")
..........(1)
3)
 "$N=\frac{\partial f}{\partial y}=3y^2+2y+\cos(x+y)$")
from (1),
+k%27(y)=3y^2+2y+\cos(x+y) "$\frac{\partial f}{\partial y}=\cos(x+y)+k'(y)=3y^2+2y+\cos(x+y)$")
=3y^2+2y "$k'(y)=3y^2+2y$")
=\int(3y^2+2y)dy "$k(y)=\int(3y^2+2y)dy$")
=y^3+y^2+c_2 "$k(y)=y^3+y^2+c_2$")
.............(2)
4)
+y^3+y^2=c_3 "$\sin(x+y)+y^3+y^2=c_3$")
17. 불완전 미분방정식 and 적분인자 ¶
이상 완전미분방정식,exact_DE 으로 옮기고... 이하도 옮길 것임 (나중에 분리)
CHK:
dx+N(x,y)dy=0 "$df=M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$")
이고
인 경우 완전미방이라고 했다.
 "$M=\frac{\partial f}{\partial x}\Rightarrow f=...+k(y)$")
에서  "$f=...+k(y)$")
부분을 
에 대해 편미분한 것  "$\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)$")
을...가지고 에 대한 정보를 구할 수 있었다.
이것이 완전미분방정식의 풀이였고,
이것이 완전미분방정식의 풀이였고,
즉 불완전미방은 적분인자를 찾아 곱해서 완전미방으로 바꾸어서 푸는 것이다.
그럼 적분인자를 어떻게 찾을 것인가?
그럼 적분인자를 어떻게 찾을 것인가?
불완전미방
dx+N(x,y)dy=0 "$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$")
이 있고,
적분인자
 "$F(x,y)$")
가 있다.
원래 식에 곱하면,
F(x,y)dx+N(x,y)F(x,y)dy=0 "$M(x,y)F(x,y)dx+N(x,y)F(x,y)dy=0$")
이 식이 완전미방이기 위해서는,
=\frac{\partial}{\partial x}(NF) "$\frac{\partial}{\partial y}(MF)=\frac{\partial}{\partial x}(NF)$")
이어야 한다.
1)
만의 함수인지 만의 함수인지 어떻게 알까? 힌트는 위 식에서
만의 함수
만의 함수
로 되었다.
먼저, 가 아니라  "$F(x)$")
즉 엑스만의 함수이면 어떨까?
\to F(x) "$F(x,y)\to F(x)$")
 "$N\frac{dF}{dx}=F\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right)$")
dx "$\frac1{F}dF=\frac1{N}\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right)dx$")
dx "$\ln|F|=\int\frac1{N}\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right)dx$")
dx} "$F=e^{\int\frac1{N}\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right)dx}$")
2)먼저, 가 아니라  "$F(y)$")
즉 만의 함수이면 어떨까?
\to F(y) "$F(x,y)\to F(y)$")
dy "$\frac1{F}dF=\frac1{M}\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right)dy$")
dy "$F=e^{\int\frac1{M}\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right)dy$")
그렇다면, 적분인자가 1)의 경우
}dx "$\frac1{F}dF=\fbox{\frac1{N}\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right)}dx$")
2)의 경우
}dy "$\frac1{F}dF=\fbox{\frac1{M}\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right)}dy$")
의 네모친 부분에 있다. 위 식을 다시 쓰면1)의 경우
 "$\frac{dF}{Fdx}=\frac1{N}\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right)$")
2)의 경우
 "$\frac{dF}{Fdy}=\frac1{M}\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right)$")
인데, 각각ex.
sol.
이렇게 완전미방이 아님을 확인. 따라서 적분인자를 구해야 한다.
1)
=\frac1{3x}\times(-1) "$\frac1{F}\frac{dF}{dx}=\frac1{N}\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right)=\frac1{3x}\times(-1)$")
이렇게 적분인자를 구했다. 그러니 원 식에 곱한다.
2)
=c_1 "$f=\int 2x^{-\frac13}ydy+k(y)=c_1$")
=c_1 "$f=3x^{\frac23}y+k(y)=c_1$")
.........(1)
3)
from (1),
=3x^{\frac23} "$\frac{\partial f}{\partial y}=3x^{\frac23}+k'(y)=3x^{\frac23}$")
........(2)
4)
이렇게 완전미방이 아님을 확인. 따라서 적분인자를 구해야 한다.
ex.
dx+xydy=0 "$(4x^2+y^2-3x)dx+xydy=0$")
sol.
1)
=\frac1{xy}\cdot y=\frac1{x} "$\frac1{F}\frac{dF}{dx}=\frac1{N}\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right)=\frac1{xy}\cdot y=\frac1{x}$")
적분인자를 구했고, 준식에 곱해주면
dx+x^2ydy=0 "$(4x^3+xy^2-3x^2)dx+x^2ydy=0$")
2)
=c_1 "$f=x^4+\frac12x^2y^2-x^3+k(y)=c_1$")
.........(1)
3)
from (1),
=x^2y "$\frac{\partial f}{\partial y}=x^2y+k'(y)=x^2y$")
=0 "$k'(y)=0$")
=c_2 "$k(y)=c_2$")
........(2)
4)
ex.
dy=0 "$xydx+(3y+x^2)dy=0$")
sol.
1)
=\frac1{xy}\cdot x=\frac1y "$\frac1F\frac{dF}{dy}=\frac1M\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right)=\frac1{xy}\cdot x=\frac1y$")
적분인자가 y이고,
dy=0 "$xy^2dx+(3y^2+x^2y)dy=0$")
2)
=c_1 "$f=\frac12x^2y^2+k(y)=c_1$")
.......(1)
3)
from (1),
=x^2y+3y^2 "$\frac{\partial f}{\partial y}=x^2y+k'(y)=x^2y+3y^2$")
=3y^2 "$\frac{d}{dy}k(y)=3y^2$")
=y^3+c_2 "$k(y)=y^3+c_2$")
........(2)
4)
from (1),
ex.
dx-2xydy=0 "$(x^2+y^2)dx-2xydy=0$")
불완전미방
=-\frac1{2xy}\cdot 4y "$\frac1F\frac{dF}{dx}=\frac1N\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right)=-\frac1{2xy}\cdot 4y$")
따라서 
dx-2\frac{y}xdy=0 "$(1+\frac{y^2}{x^2})dx-2\frac{y}xdy=0$")
2)
=c_1 "$f=x-\frac{y^2}x+k(y)=c_1$")
3)
from (1), (???)
=-\frac{2y}{x} "$\frac{\partial f}{\partial y}=-2\frac{y}x+k'(y)=-\frac{2y}{x}$")
4)
18. 선형미분방정식 linear DE ¶
1계 선형미분방정식
y=r(x) "$y'+p(x)y=r(x)$")
: 표준형
1) =0 "$r(x)=0$")
이면
y=0 "$y'+p(x)y=0$")
: 제차선형미분방정식 (homogeneous)
2) \ne0 "$r(x)\ne0$")
이면
: 비제차선형미분방정식 (non-homogeneous)
: 제차선형미분방정식 (homogeneous)
: 비제차선형미분방정식 (non-homogeneous)
Notes from 덕성여대 - 일계 선형방정식의 풀이법
선형결합,linear_combination의 형태로.다른 방법
예) 
을 다시.
=-3 "$p(x)=-3$")
그러면 integrating factor는
dx}=e^{\int(-3)dx}=e^{-3x+C} "$e^{\int p(x)dx}=e^{\int(-3)dx}=e^{-3x+C}$")
등 중에서 하나만 고르면 되는데, 
를 고른다.
그러면
좌변이 미분형태이므로
%27=6e^{-3x} "$(e^{-3x}y)'=6e^{-3x}$")
양변 적분하면
e^{-3x}+C "$e^{-3x}y=\int 6e^{-3x}dx=6(-\frac13)e^{-3x}+C$")
예) y%27+xy=0 "$(x^2-9)y'+xy=0$")
적분인자: dx}=e^{\int\frac{x}{x^2-9}dx} "$e^{\int p(x)dx}=e^{\int\frac{x}{x^2-9}dx}$")
로 치환하면
다시 집어넣으면 (여기서 C는 0으로 고를 수 있다.)
(일단 한가지 경우만 생각)
원래 식은
그리고 x = -3, 3은 특이점임.
다시 집어넣으면 (여기서 C는 0으로 고를 수 있다.)
결론: 1계선형미방은 잘 풀린다. 그 일반해는 1-parameter family를 이룬다.
19. 완전형 Exact Equations ¶
덕성여대 Exact Equations
47:40
47:40
예) 
덕성여대 동영상 4. 완전형 미분방정식
예 dy=0 "$xydx+(2x^2+3y^2-20)dy=0$")
인가?
이므로 아니다.
을 만족하는 2변수  "$f(x,y)$")
가 존재하지 않는다.
따라서 이 DE는 exact하지 않다.
따라서 이 DE는 exact하지 않다.
예. 
따라서 exact.
 "$\to f(x,y)$")
가 을 만족한다고 가정하자.
=\int x^2y^3dx=\frac13x^3y^3+g(y) "$\frac{\partial f}{\partial x}=x^2y^3 \;\to\; f(x,y)=\int x^2y^3dx=\frac13x^3y^3+g(y)$")
 "$\frac{\partial f}{\partial y}=x^3y^2+g'(y)$")
위 둘이 같으므로
=0 "$g'(y)=0$")
=C "$g(y)=C$")
=\frac13x^3y^3+C "$\to f(x,y)=\frac13x^3y^3+C$")
, C는 상수
해:
, C는 상수
해:
ex.
가 
을 만족한다고 하자.
 "$f=\textstyle\int 2xydx=x^2y+g(y)$")
 "$\to x^2-1=\frac{\partial f}{\partial y}=x^2+g'(y)$")
=-1\to g(y)=-y+C "$\to g'(y)=-1\to g(y)=-y+C$")
해:
C: 상수
이 exact하지 않다면, 강제로 exact하게 만들 수 있다.
해:
or 
C는 상수
만일 방정식 가정: 
가 에만 의존.  "$\mu=\mu(x)$")
같게 됨.
를 만족하는
그래서 해는
20. 치환형 Substitution ¶
덕성여대 - 치환으로 해결되는 방정식들, 초기치문제
일단 homogeneous의 개념을 확장.
정의.
=t^n\cdot f(x,y),\quad\forall x,y,t "$f(tx,ty)=t^n\cdot f(x,y),\quad\forall x,y,t$")
예.
=x^2+y^2 "$f(x,y)=x^2+y^2$")
: 2차 homogeneous
=x^2+2xy "$f(x,y)=x^2+2xy$")
: 마찬가지
=x^3+2xy^2 "$f(x,y)=x^3+2xy^2$")
: 3차 homogeneous? CHK
=\sqrt{x^2+y^2} "$f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$")
: 1차 homogeneous
=3 "$f(x,y)=3$")
: 0차 homogeneous
=\frac{x^2-y^2}{x^3+2xy^2} "$f(x,y)=\frac{x^2-y^2}{x^3+2xy^2}$")
: -1차 homogeneous
![$f(x,y)=\sqrt[3]{x^2+y^2}$](/wiki/cgi-bin/mimetex.cgi?\fs7 f(x,y)=\sqrt[3]{x^2+y^2} "$f(x,y)=\sqrt[3]{x^2+y^2}$")
: 2/3차 homogeneous
그러니까 x와 y 두 문자에 대해서 몇차인가 그것.
이변수함수 가 homogeneous of degree 
iff정의.
이 homogeneous of degree n
iff
,N() "$M(),N()$")
이 homogeneous of degree n.
예. dx+(x^2-xy)dy=0 "$(x^2+y^2)dx+(x^2-xy)dy=0$")
새로운 변수 u를 도입.
=\frac{y(x)}{x} "$y=ux,u(x)=\frac{y(x)}{x}$")
dx+(x^2-xux)(xdu+udx)=0 "$(x^2+u^2x^2)dx+(x^2-xux)(xdu+udx)=0$")
dx+x^3(1-u)du=0 "$(x^2+u^2x^2+ux^2-u^2x^2)dx+x^3(1-u)du=0$")
dx+x(1-u)du=0 "$(1+u)dx+x(1-u)du=0$")
여기서, +2}{1+u}=-1+\frac2{u+1} "$\frac{1-u}{1+u}=\frac{(-1-u)+2}{1+u}=-1+\frac2{u+1}$")
양변 적분
이렇게 x와 u의 관계가 답이다. 또는 
이므로
새로운 변수 u를 도입.
양변 적분
치환:
예:
이렇게 일계선형 형식으로 된다.
integrating factor:
dx}=e^{-\ln|x|}=e^{\ln(\frac{1}{|x|})}=\frac1{|x|} "$e^{\int(-\frac1x)dx}=e^{-\ln|x|}=e^{\ln(\frac{1}{|x|})}=\frac1{|x|}$")
(C는 0으로 날렸음.)
양함수꼴로 하면
} "$y=\frac1{x(-x+C)}$")
integrating factor:
21. linear DEs of higher order (고계 선형 미방) ¶
덕성여대 - 5. 고계도 선형미분방정식의 성질
- 일반적으로 잘 안 풀림
- 상수계수의 경우 거의 다 풀림
- 위 식에서
가 구간
에서 연속이고,
는
Boundary Value Problem 경계치 문제
: Neumann condition
: Mixed condition
예) 
일반해:
BC:=0,\,y(\frac{\pi}2)=0 "$y(0)=0,\,y(\frac{\pi}2)=0$")
이 BVP의 해: 
=0,\;y(\frac{\pi}2)=1 "$y(0)=0,\;y(\frac{\pi}2)=1$")
so 불가능.
이 BVP의 해는 없다.
일반해:
BC:
1-parameter family를 이룬다.
BC: 경계값문제,boundary_value_problem,BVP
경계,boundary
http://www.scholarpedia.org/article/Boundary_value_problem
경계,boundaryhttp://www.scholarpedia.org/article/Boundary_value_problem
정리. (homogeneous linear DE의 중첩원리)
(H)의 해들이라고 하자.
(즉 해들의 선형결합)은 모든 
에 대하여 (H)의 해가 된다.
증명: y를 대입하면 
이 됨.
y가 (H)의 해 => cy도 해가 됨
y1,y2가 (H)의 해 => y1+y2도 해가 됨
특히 0=0y가 (H)의 해 => 자명해(trivial solution)
y1,y2가 (H)의 해 => y1+y2도 해가 됨
특히 0=0y가 (H)의 해 => 자명해(trivial solution)
예)
: 선형 homogeneous eq.
알고 있는 해: 
사실 이게 해의 전부이다. (일반해라고 한다. general solution)
i.e.
는 해집합의 기저,basis가 된다.
사실 이게 해의 전부이다. (일반해라고 한다. general solution)
i.e.
기저,basis가 된다.Def.
,f_2(x),\cdots,f_n(x): "$f_1(x),f_2(x),\cdots,f_n(x):$")
구간 에서 정의된 함수들
이 에서 선형종속(linearly dependent, =일차종속)
(정의)
(0이 아닌 것이 적어도 하나는 있어야 한다)
such that+c_2f_2(x)+\cdots+c_nf_n(x)\equ 0 "$c_1f_1(x)+c_2f_2(x)+\cdots+c_nf_n(x)\equ 0$")
( 에서 )
예)
=\sqrt{x}+5 "$f_1(x)=\sqrt{x}+5$")
=\sqrt{x}+5x "$f_2(x)=\sqrt{x}+5x$")
=x-1 "$f_3(x)=x-1$")
=x^4 "$f_4(x)=x^4$")
이걸로 0을 만들 수 있을까?
+(-1)\cdot(\sqrt{x}+5x)+5\cdot(x-1)+0\cdot x^4=0 "$1\cdot(\sqrt{x}+5)+(-1)\cdot(\sqrt{x}+5x)+5\cdot(x-1)+0\cdot x^4=0$")
Yes. 선형종속.
즉 선형종속임을 확인하려면 적절히 집어넣어서 0이 되는지 보면 된다.
such that
즉 선형종속임을 확인하려면 적절히 집어넣어서 0이 되는지 보면 된다.
Def.
: 구간 에서 정의된 함수들
: 에서 선형독립(linearly independent, =일차독립)
(정의)
이 에서 선형종속이 아니다.
+\cdots+c_nf_n(x)\not\equ 0 "$c_1f_1(x)+\cdots+c_nf_n(x)\not\equ 0$")
( 에서 )
+\cdots+c_nf_n(x)\equ 0 \;\Rightarrow\; c_1=c_2=\cdots=c_n=0 "$c_1f_1(x)+\cdots+c_nf_n(x)\equ 0 \;\Rightarrow\; c_1=c_2=\cdots=c_n=0$")
예)
=1,\quad f_2(x)=x,\quad f_3(x)=x^2 "$f_x(x)=1,\quad f_2(x)=x,\quad f_3(x)=x^2$")
으로 가정.
따라서 선형독립.
따라서 선형독립.
Wronskian : 일종의 판별식/행렬식?
론스키안, 론스키언, 론스키 행렬식, 브론스키 행렬식
론스키안, 론스키언, 론스키 행렬식, 브론스키 행렬식
Wronskian (determinant) of
정리:
만일\not\equ 0 "$W(f_1,\cdots,f_n)\not\equ 0$")
이면 : 선형독립.
만일
영상 6. n계선형 homogeneous 방정식의 fundamental set of solutions
n-th homogeneous 선형 미분방정식:
y^{(n)}+\cdots+a_1(x)y%27+a_0(x)y=0 "$a_n(x)y^{(n)}+\cdots+a_1(x)y'+a_0(x)y=0$")
........(H)
정리
구간 에서 (H)의 해들.
선형독립
:=W(y_1,\cdots,y_n)(x)\not\equ 0 "$W(x):=W(y_1,\cdots,y_n)(x)\not\equ 0$")
del {
증명
 "$(\Leftarrow)$")
는 전시간(위의) 정리.
 "$(\Rightarrow)$")
의 증명.
가정: 
이 선형독립
보이고 싶은 것:\ne 0 "$\forall x\in I,\,W(x)\ne 0$")
어떤
에서 =0 "$W(x_0)=0$")
이었다고 가정하자.
&y_2(x_0)&\cdots&y_n(x_0)\\y_1%27(x_0)&y_2%27(x_0)&\cdots&y_n%27(x_0)\\\vdots& & &\vdots\\y_1^{(n-1)}(x_0)&y_2^{(n-1)}(x_0)&\cdots&y_n^{(n-1)}(x_0)\end{bmatrix}=W(x_0)=0 "$\det\begin{bmatrix}y_1(x_0)&y_2(x_0)&\cdots&y_n(x_0)\\y_1'(x_0)&y_2'(x_0)&\cdots&y_n'(x_0)\\\vdots& & &\vdots\\y_1^{(n-1)}(x_0)&y_2^{(n-1)}(x_0)&\cdots&y_n^{(n-1)}(x_0)\end{bmatrix}=W(x_0)=0$")
&y_2(x_0)&\cdots&y_n(x_0)\\y_1%27(x_0)&y_2%27(x_0)&\cdots&y_n%27(x_0)\\\vdots& & &\vdots\\y_1^{(n-1)}(x_0)&y_2^{(n-1)}(x_0)&\cdots&y_n^{(n-1)}(x_0)\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c_1\\c_2\\ \vdots \\ c_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\ \vdots \\ 0\end{bmatrix} "$\begin{bmatrix}y_1(x_0)&y_2(x_0)&\cdots&y_n(x_0)\\y_1'(x_0)&y_2'(x_0)&\cdots&y_n'(x_0)\\\vdots& & &\vdots\\y_1^{(n-1)}(x_0)&y_2^{(n-1)}(x_0)&\cdots&y_n^{(n-1)}(x_0)\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c_1\\c_2\\ \vdots \\ c_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\ \vdots \\ 0\end{bmatrix}$")
의 해 "$(c_1,\cdots,c_n)$")
이 무수히 많다.
전부 0은 아닌
들이 존재해서 이 방정식의 해가 된다.
보이고 싶은 것:
어떤
의 해
전부 0은 아닌
새로운 함수 :=c_1y_1(x)+\cdots+c_ny_n(x) "$y_*(x):=c_1y_1(x)+\cdots+c_ny_n(x)$")
를 정의 ( 에서 )
그러면 (H)의 중첩원리에 의해
(H)의 해
그러면 (H)의 중첩원리에 의해
이하생략
아무튼 어쩌구저쩌구 해서 증명가능
}
정의 (Fundamental Set of Solutions) (F.S.S.)
(H)의 n개의 선형독립인 해
:
(H)의 fundamental set of solutions라고 부른다.
(H)의 n개의 선형독립인 해
(H)의 fundamental set of solutions라고 부른다.
정리 (Existence of F.S.S.)
증명: 를 잡자.
이 선형독립이라는 것을 보이면 됨.
:=W(y_1,\cdots,y_n)(x) "$W(x):=W(y_1,\cdots,y_n)(x)$")
라고 놓자.
=\det\begin{pmatrix}y_1(x_0)&\cdots&y_n(x_0)\\\vdots&&\vdots\\y_1^{(n-1)}(x_0)&\cdots&y_n^{(n-1)}(x_0)\end{pmatrix} "$W(x_0)=\det\begin{pmatrix}y_1(x_0)&\cdots&y_n(x_0)\\\vdots&&\vdots\\y_1^{(n-1)}(x_0)&\cdots&y_n^{(n-1)}(x_0)\end{pmatrix}$")
→ : 선형독립
→ : F.S.S.
증명:
초기치문제  "$H(x)$")
=1,\,y_1%27(x_0)=0,\,\cdots,\,y_1^{(n-1)}(x_0)=0 "$y_1(x_0)=1,\,y_1'(x_0)=0,\,\cdots,\,y_1^{(n-1)}(x_0)=0$")
의 유일한 해.
초기치문제
=0,\,y_2%27(x_0)=1,\,y_2%27%27(x_0)=0,\,\cdots,\,y_2^{(n-1)}(x_0)=0 "$y_2(x_0)=0,\,y_2'(x_0)=1,\,y_2''(x_0)=0,\,\cdots,\,y_2^{(n-1)}(x_0)=0$")
의 해.
...
...
초기치문제
=0,\,y_1%27(x_0)=0,\,\cdots,\,y_1^{(n-1)}(x_0)=1 "$y_1(x_0)=0,\,y_1'(x_0)=0,\,\cdots,\,y_1^{(n-1)}(x_0)=1$")
의 해.
→
→
dim((H)의 해집합) ≥ n
정리) Sufficiency of F.S.S.
: FSS of (H) (I에서)
Y: I에서 (H)의 아무 해 하나라고 하자.
=c_1y_1(x)+\cdots+c_ny_n(x),\quad \forall x\in I "$\Rightarrow Y(x)=c_1y_1(x)+\cdots+c_ny_n(x),\quad \forall x\in I$")
Y: I에서 (H)의 아무 해 하나라고 하자.
(어떤 에 대해)
증명)(이건 안 적음)
동영상 덕성여대 inhomogeneous 선형방정식의 중첩원리와 일반해