수학,math

analysis =해석, =해석학, =,analysis . KmsE:analysis






positional_numeral_system
unary_numeral_system
unary numeral system
아마 원시인이 사용했을...
https://ko.wikipedia.org/wiki/일진법
위치기수법 = positional_numeral_system 에 해당되지 않는다
https://en.wikipedia.org/wiki/Unary_numeral_system
https://ja.wikipedia.org/wiki/一進法
"unary numeral system"
Ggl:unary numeral system

binary_numeral_system
decimal_numeral_system
_numeral_system
_numeral_system
_numeral_system
_numeral_system
...





bmks en
Calculus Textbooks
{

Free Calculus Textbooks
{
http://xahlee.info/math/calculus_textbooks.html
...
Ggl:Free Calculus Textbooks
"Free Calculus Textbooks"}

...
Ggl:Calculus Textbooks
"Calculus Textbooks"}

(tmp) 수학에서의 adjectives (pagename prefix 역할) => curr at 형용사,adjective



1. (tmp) 수학관련 TMP TODO

1.1. Pagename TBD

1.1.1. embedding = imbedding


WtEn:imbedding (볼필요없음, embedding 과 같은 단어라는 얘기)
WtEn:embedding


btw, 임베딩,embedding page made

1.1.2. immersion

=,immersion .
KmsE:immersion

"immersion 수학"

immersion =,immersion .
{
WtEn:immersion


수학외에도...

immersion 이머젼 이멀젼 ...? / 2023-09-04 에 https://kornorms.korean.go.kr/ 에 없음. 나중에 retry



WpKo:이머전페이지가 있으나 고유명사(가수명 etc)에 대한 것만 있음

2. (fork?) 일반적인 함수를 지수함수로 변형시키는 공식

일반적인 함수를 지수함수로 변형시키는 공식
{
다음은 명백하다.
$\displaystyle e^{\ln x}=x$
$\displaystyle x$$\displaystyle a$ 를 대입하면
$\displaystyle a=e^{\ln a}$
이다. 이것을 이용하면 밑이 $\displaystyle a$ 인 지수함수는,
$\displaystyle a^x=(e^{\ln a})^x=e^{x\ln a}$

위 사실을 이용하여 밑이 $\displaystyle a$ 인 지수함수의 도함수를 구해보면,
$\displaystyle (a^x)'=(e^{x\ln a})'=(\ln a)e^{x\ln a}=a^x\ln a$
}

3. 매개*


매개방정식 parametric equation
매개곡선
곡선의 매개변수화 parametrization of curve
매개변수화된 곡선 parametrized curve
매개변수 parameter
매개변수화 parameterization
매개변수표현 parametric representation

3.1. 매개곡선

매개곡선
정의:
$\displaystyle x=f(t),y=g(t)$ ← 매개방정식
$\displaystyle t$ ← 매개변수

예:
$\displaystyle x=t^2,y=t$
$\displaystyle \Rightarrow x=y^2$
(포물선)
예:
$\displaystyle x=2\cos t,y=2\sin t(0\le t\le 2\pi)$
$\displaystyle \Rightarrow x^2+y^2=4$
예:
$\displaystyle x=\cos t,y=\cos^2 t$
$\displaystyle \Rightarrow y=x^2(-1\le x\le1,0\le y\le 1)$
예:
$\displaystyle x=3\cos t,$
$\displaystyle y=2\sin t (0\le t \le 2\pi)$
$\displaystyle \Rightarrow\left(\frac{x}3\right)^2+\left(\frac{y}{2}\right)^2=\cos^2t+\sin^2t=1$
$\displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{x^2}{4}=1$ (타원)

사이클로이드,cycloid curr VG:사이클로이드,cycloid (굴렁쇠선)
$\displaystyle x=r(\theta-\sin\theta)$
$\displaystyle y=r(1-\cos\theta)$

3.1.1. 매개곡선의 미적분

매개곡선의 미적분

접선

$\displaystyle x=f(t),y=g(t)$
$\displaystyle \Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{g'(t)}{f'(t)}=\frac{\;\frac{dy}{dt}\;}{\frac{dx}{dt}}$

ex.
굴렁쇠선 $\displaystyle x=\theta-\sin\theta,y=1-\cos\theta$ 에 대하여, $\displaystyle \theta=\frac{\pi}3$ 일 때 접선의 식은?
sol.
$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}}=\frac{\sin\theta}{1-\cos\theta}$
$\displaystyle \left.\frac{dy}{dx}\right|_{\theta=\frac{\pi}3}=\frac{\sin\frac{\pi}3}{1-\cos\frac{\pi}3}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1-\frac12}=\sqrt{3}$
$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$ 일 때
$\displaystyle x=\frac{\pi}3-\sin\frac{\pi}3=\frac{\pi}3-\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\displaystyle y=1-\cos\frac{\pi}3=\frac12$
∴ 접선의 식은
$\displaystyle y=\sqrt{3}\left(x-\frac{\pi}3+\frac{\sqrt{3}}2\right)+\frac12$
$\displaystyle y=\sqrt{3}x-\frac{\sqrt{3}}3\pi+2$

4. 호의 길이

Related: VG:호,arc
2023-08-25: VG:호길이,arclength page exists

$\displaystyle x=a(t=\alpha)\to x=b(t=\beta)$ 로 가고
곡선이
$\displaystyle x=f(t),dx=f'(t)dt$
$\displaystyle y=g(t)$
이면 호의 길이는
$\displaystyle L=\int_a^b \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx$
$\displaystyle =\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{1+\left(\frac{\;\frac{dy}{dt}\;}{\frac{dx}{dt}}\right)^2}\frac{dx}{dt}dt$

$\displaystyle L=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt$

매개변수로 주어진 곡선의 길이는 이러하다.

5. 극곡선의 접선


$\displaystyle r=f(\theta)$ 일 때
$\displaystyle x=r\cos\theta=f(\theta)\cdot\cos\theta$
$\displaystyle y=r\sin\theta=f(\theta)\cdot\sin\theta$
$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}}=\frac{f'(\theta)\sin\theta+f(\theta)\cos\theta}{f'(\theta)\cos\theta-f(\theta)\sin\theta}$

6. 용어

WLOG without loss of generality
TFAE the following are all equivalent

w.r.t w.r.t.
a.e. - almost everywhere - 거의 어디서나
a.s. - almost surely - 거의 확실하게 (wk) .... (curr see WpKo:거의_어디서나)