선형대수,linear_algebra
선형화,linearization
치환적분,integration_by_substitution
부분적분,integration_by_parts
이상적분improper_integral
미분가능성과_연속성의_관계
평균변화율
극한(limit)
확률,probability
여러가지증명
미분방정식,differential_equation
함수,function
라플라스변환Laplace_transform
수렴,convergence
발산,divergence
급수,series
산술,arithmetic
스칼라,scalar 벡터,vector 행렬,matrix 텐서,tensor ... 순서?? chk
이산수학,discrete_math or discrete_mathematics =,discrete_mathematics . discrete_mathematics
{
discrete_mathematics
선형화,linearization
치환적분,integration_by_substitution
부분적분,integration_by_parts
이상적분improper_integral
미분가능성과_연속성의_관계
평균변화율
극한(limit)
확률,probability
여러가지증명
미분방정식,differential_equation
함수,function
삼각함수,trigonometric_function
역삼각함수,inverse_trigonometric_function
쌍곡선함수,hyperbolic_function
역쌍곡선함수,inverse_hyperbolic_function
삼각치환,trig_substitution역삼각함수,inverse_trigonometric_function
쌍곡선함수,hyperbolic_function
역쌍곡선함수,inverse_hyperbolic_function
라플라스변환Laplace_transform
수렴,convergence
발산,divergence
급수,series
산술,arithmetic
스칼라,scalar 벡터,vector 행렬,matrix 텐서,tensor ... 순서?? chk
이산수학,discrete_math or discrete_mathematics =,discrete_mathematics . discrete_mathematics
{
discrete_mathematics
이산수학 공개 교재
이산수학 공개 교재
이산수학 공개 교재open discrete.mathematics textbooks}
미적분,calculus or 미분학,differential_calculus 적분학,integral_calculus였나.. (칼큘러스,calculus중에) {
differential_calculus 
Differential_calculus 
Differential_calculus / integral_calculus integral_calculus integral_calculusbmks en
Calculus Textbooks
{
Calculus Textbooks
{
Free Calculus Textbooks
{
http://xahlee.info/math/calculus_textbooks.html
...
Free Calculus Textbooks
"Free Calculus Textbooks"}
{
http://xahlee.info/math/calculus_textbooks.html
...
Free Calculus Textbooks"Free Calculus Textbooks"}
(tmp) 수학에서의 adjectives (pagename prefix 역할) => curr at 형용사,adjective
1.1.1. embedding = imbedding ¶
embedding = imbedding
embedding 수학 embedding 수학 embedding 수학
=,embedding =,imbedding .
{
embedding imbedding
'묻기, 매장, 매입' .... https://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=ename&keyword=embedding
embedding 수학 embedding 수학 embedding 수학=,embedding =,imbedding .
{
embedding imbedding'묻기, 매장, 매입' .... https://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=ename&keyword=embedding
btw, 임베딩,embedding page made
1.1.2. immersion ¶
"immersion 수학"
'몰입, 넣기' .... kms immersion: https://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=ename&keyword=immersion
몰입_(수학)
}
몰입_(수학)}
수학외에도...
immersion 이머젼 이멀젼 ...? / 2023-09-04 에 https://kornorms.korean.go.kr/ 에 없음. 나중에 retry
2. (fork?) 일반적인 함수를 지수함수로 변형시키는 공식 ¶
일반적인 함수를 지수함수로 변형시키는 공식
{
다음은 명백하다.
{
다음은 명백하다.
$\displaystyle e^{\ln x}=x$
$\displaystyle x$ 에 $\displaystyle a$ 를 대입하면$\displaystyle a=e^{\ln a}$
이다. 이것을 이용하면 밑이 $\displaystyle a$ 인 지수함수는,$\displaystyle a^x=(e^{\ln a})^x=e^{x\ln a}$
위 사실을 이용하여 밑이 $\displaystyle a$ 인 지수함수의 도함수를 구해보면,$\displaystyle (a^x)'=(e^{x\ln a})'=(\ln a)e^{x\ln a}=a^x\ln a$
}3. 매개* ¶
MKL 파라미터,parameter
매개방정식 parametric equation
매개곡선
매개변수화 parameterization
매개변수표현 parametric representation
매개곡선
곡선의 매개변수화 parametrization of curve
매개변수화된 곡선 parametrized curve
매개변수 parameter매개변수화된 곡선 parametrized curve
매개변수화 parameterization
매개변수표현 parametric representation
3.1. 매개곡선 ¶
매개곡선
정의:
사이클로이드,cycloid (굴렁쇠선)
정의:
$\displaystyle x=f(t),y=g(t)$ ← 매개방정식
$\displaystyle t$ ← 매개변수
예:$\displaystyle t$ ← 매개변수
$\displaystyle x=t^2,y=t$
$\displaystyle \Rightarrow x=y^2$
(포물선)
예:$\displaystyle \Rightarrow x=y^2$
(포물선)
$\displaystyle x=2\cos t,y=2\sin t(0\le t\le 2\pi)$
$\displaystyle \Rightarrow x^2+y^2=4$
예:$\displaystyle \Rightarrow x^2+y^2=4$
$\displaystyle x=\cos t,y=\cos^2 t$
$\displaystyle \Rightarrow y=x^2(-1\le x\le1,0\le y\le 1)$
예:$\displaystyle \Rightarrow y=x^2(-1\le x\le1,0\le y\le 1)$
$\displaystyle x=3\cos t,$
$\displaystyle y=2\sin t (0\le t \le 2\pi)$
$\displaystyle \Rightarrow\left(\frac{x}3\right)^2+\left(\frac{y}{2}\right)^2=\cos^2t+\sin^2t=1$
$\displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{x^2}{4}=1$ (타원)
사이클로이드,cycloid curr $\displaystyle y=2\sin t (0\le t \le 2\pi)$
$\displaystyle \Rightarrow\left(\frac{x}3\right)^2+\left(\frac{y}{2}\right)^2=\cos^2t+\sin^2t=1$
$\displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{x^2}{4}=1$ (타원)
사이클로이드,cycloid (굴렁쇠선)$\displaystyle x=r(\theta-\sin\theta)$
$\displaystyle y=r(1-\cos\theta)$
$\displaystyle y=r(1-\cos\theta)$
3.1.1. 매개곡선의 미적분 ¶
매개곡선의 미적분
접선
$\displaystyle x=f(t),y=g(t)$
$\displaystyle \Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{g'(t)}{f'(t)}=\frac{\;\frac{dy}{dt}\;}{\frac{dx}{dt}}$
$\displaystyle \Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{g'(t)}{f'(t)}=\frac{\;\frac{dy}{dt}\;}{\frac{dx}{dt}}$
ex.
$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$ 일 때
굴렁쇠선 $\displaystyle x=\theta-\sin\theta,y=1-\cos\theta$ 에 대하여, $\displaystyle \theta=\frac{\pi}3$ 일 때 접선의 식은?
sol.$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}}=\frac{\sin\theta}{1-\cos\theta}$
∴ $\displaystyle \left.\frac{dy}{dx}\right|_{\theta=\frac{\pi}3}=\frac{\sin\frac{\pi}3}{1-\cos\frac{\pi}3}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1-\frac12}=\sqrt{3}$$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$ 일 때
$\displaystyle x=\frac{\pi}3-\sin\frac{\pi}3=\frac{\pi}3-\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\displaystyle y=1-\cos\frac{\pi}3=\frac12$
∴ 접선의 식은$\displaystyle y=1-\cos\frac{\pi}3=\frac12$
$\displaystyle y=\sqrt{3}\left(x-\frac{\pi}3+\frac{\sqrt{3}}2\right)+\frac12$
∴ $\displaystyle y=\sqrt{3}x-\frac{\sqrt{3}}3\pi+2$4. 호의 길이 ¶
$\displaystyle x=a(t=\alpha)\to x=b(t=\beta)$ 로 가고
곡선이
곡선이
$\displaystyle x=f(t),dx=f'(t)dt$
$\displaystyle y=g(t)$
이면 호의 길이는$\displaystyle y=g(t)$
$\displaystyle L=\int_a^b \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx$
$\displaystyle =\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{1+\left(\frac{\;\frac{dy}{dt}\;}{\frac{dx}{dt}}\right)^2}\frac{dx}{dt}dt$
∴$\displaystyle =\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{1+\left(\frac{\;\frac{dy}{dt}\;}{\frac{dx}{dt}}\right)^2}\frac{dx}{dt}dt$
$\displaystyle L=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt$
매개변수로 주어진 곡선의 길이는 이러하다.5. 극곡선의 접선 ¶
$\displaystyle r=f(\theta)$ 일 때
$\displaystyle x=r\cos\theta=f(\theta)\cdot\cos\theta$
$\displaystyle y=r\sin\theta=f(\theta)\cdot\sin\theta$
$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}}=\frac{f'(\theta)\sin\theta+f(\theta)\cos\theta}{f'(\theta)\cos\theta-f(\theta)\sin\theta}$
$\displaystyle x=r\cos\theta=f(\theta)\cdot\cos\theta$
$\displaystyle y=r\sin\theta=f(\theta)\cdot\sin\theta$
$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}}=\frac{f'(\theta)\sin\theta+f(\theta)\cos\theta}{f'(\theta)\cos\theta-f(\theta)\sin\theta}$
6. 용어 ¶
| WLOG | without loss of generality |
| TFAE | the following are all equivalent |
w.r.t w.r.t.
a.e. - almost everywhere - 거의 어디서나
https://mathworld.wolfram.com/AlmostEverywhere.html
거의_어디서나 = https://ko.wikipedia.org/wiki/거의_어디서나
Almost_everywhere = https://en.wikipedia.org/wiki/Almost_everywhere
a.s. - almost surely - 거의 확실하게 (wk) .... (curr see 거의_어디서나 = https://ko.wikipedia.org/wiki/거의_어디서나Almost_everywhere = https://en.wikipedia.org/wiki/Almost_everywhere거의_어디서나)