일반적인 함수를 지수함수로 변형시키는 공식
{
다음은 명백하다.

$e^{\ln x}=x$

$x$ 에 $a$ 를 대입하면

$a=e^{\ln a}$

이다. 이것을 이용하면 밑이 $a$ 인 지수함수는,

$a^x=(e^{\ln a})^x=e^{x\ln a}$

위 사실을 이용하여 밑이 $a$ 인 지수함수의 도함수를 구해보면,

$(a^x)'=(e^{x\ln a})'=(\ln a)e^{x\ln a}=a^x\ln a$

}

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매개* ¶

매개방정식 parametric equation
매개곡선

곡선의 매개변수화 parametrization of curve
매개변수화된 곡선 parametrized curve

매개변수 parameter
매개변수화 parameterization
매개변수표현 parametric representation

매개곡선
정의:

$x=f(t),y=g(t)$ ← 매개방정식
$t$ ← 매개변수

예:

$x=t^2,y=t$
$\Rightarrow x=y^2$
(포물선)

예:

$x=2\cos t,y=2\sin t(0\le t\le 2\pi)$
$\Rightarrow x^2+y^2=4$

예:

$x=\cos t,y=\cos^2 t$
$\Rightarrow y=x^2(-1\le x\le1,0\le y\le 1)$

예:

$x=3\cos t,$
$y=2\sin t (0\le t \le 2\pi)$
$\Rightarrow\left(\frac{x}3\right)^2+\left(\frac{y}{2}\right)^2=\cos^2t+\sin^2t=1$
$\frac{x^2}{9}+\frac{x^2}{4}=1$ (타원)

사이클로이드,cycloid (굴렁쇠선)

$x=r(\theta-\sin\theta)$
$y=r(1-\cos\theta)$

매개곡선의 미적분

접선

$x=f(t),y=g(t)$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{g'(t)}{f'(t)}=\frac{\;\frac{dy}{dt}\;}{\frac{dx}{dt}}$

ex.

굴렁쇠선 $x=\theta-\sin\theta,y=1-\cos\theta$ 에 대하여, $\theta=\frac{\pi}3$ 일 때 접선의 식은?

sol.

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}}=\frac{\sin\theta}{1-\cos\theta}$

∴ $\left.\frac{dy}{dx}\right|_{\theta=\frac{\pi}3}=\frac{\sin\frac{\pi}3}{1-\cos\frac{\pi}3}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1-\frac12}=\sqrt{3}$
$\theta=\frac{\pi}{3}$ 일 때

$x=\frac{\pi}3-\sin\frac{\pi}3=\frac{\pi}3-\frac{\sqrt{3}}{2}$
$y=1-\cos\frac{\pi}3=\frac12$

∴ 접선의 식은

$y=\sqrt{3}\left(x-\frac{\pi}3+\frac{\sqrt{3}}2\right)+\frac12$

∴ $y=\sqrt{3}x-\frac{\sqrt{3}}3\pi+2$

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호의 길이 ¶

호,arc

$x=a(t=\alpha)\to x=b(t=\beta)$ 로 가고
곡선이

$x=f(t),dx=f'(t)dt$
$y=g(t)$

이면 호의 길이는

$L=\int_a^b \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx$
$=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{1+\left(\frac{\;\frac{dy}{dt}\;}{\frac{dx}{dt}}\right)^2}\frac{dx}{dt}dt$

∴

$L=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt$

매개변수로 주어진 곡선의 길이는 이러하다.

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극곡선의 접선 ¶

극곡선,polar_curve

접선,tangent_line

$r=f(\theta)$ 일 때
$x=r\cos\theta=f(\theta)\cdot\cos\theta$
$y=r\sin\theta=f(\theta)\cdot\sin\theta$
$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}}=\frac{f'(\theta)\sin\theta+f(\theta)\cos\theta}{f'(\theta)\cos\theta-f(\theta)\sin\theta}$

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용어 ¶

WLOG	without loss of generality
TFAE	the following are all equivalent

Red Ruby Wiki

The dictionary of geek terms

수학,math

매개* ¶

호의 길이 ¶

극곡선의 접선 ¶

용어 ¶