정리 ¶

$\displaystyle u=g(x)$ 가 미분가능하고, $\displaystyle f(x)$ 가 연속이면:

$\displaystyle \int f(g(x))g'(x)dx=\int f(u)du$

증명 ¶

$\displaystyle F(x)$ 가 $\displaystyle f(x)$ 의 한 역도함수(적분)라고 하면 연쇄법칙에 의해

$\displaystyle \frac{d}{dx}F(g(x))=F'(g(x))g'(x)=f(g(x))g'(x)$

이다. $\displaystyle u=g(x)$ 로 두고 $\displaystyle x$ 에 관해서 xxxx를 적분하면,

$\displaystyle \int f(g(x))g'(x)dx=\int\frac{d}{dx}F(g(x))dx=F(g(x))+C=F(u)+C=\int f(u)du$

(???)

$\displaystyle \int(2x+6)^5dx$

Sol.

$\displaystyle u=2x+6$ 으로 치환하면
$\displaystyle du=2dx$
$\displaystyle \frac12du=dx$ 이고

준식

$\displaystyle =\int u^5 dx$ $\displaystyle =\frac12\int u^5du$
$\displaystyle =\frac1{12}u^6+C$
$\displaystyle =\frac1{12}(2x+6)^6+C$

$\displaystyle T:\begin{cases}x=g(u,v)\\y=h(u,v)\end{cases}$

즉

$\displaystyle T:(u,v) \mapsto (x,y)=(g(u,v), h(u,v))$

coordinate_change

이중적분의 경우

$\displaystyle \iint_R f(x,y) dxdy \;\to\; \iint_S f(g(u,v),\,h(u,v)) [?] dudv$

여기서 $\displaystyle [?]$ 에 뭐가 들어가야 할까?

$\displaystyle R_ij$ 의 면적

$\displaystyle \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n f(x_i^*, y_j^*)$
$\displaystyle \to$
$\displaystyle \iint_R f(x,y)\, dx dy$

RENAMETHISPAGE - 적분 page와 pagename dupl