역쌍곡선함수,inverse_hyperbolic_function





1. 쌍곡함수의 역함수

$\displaystyle y=\sinh^{-1}x$ $\displaystyle x=\sinh y$
$\displaystyle y=\cosh^{-1}x$ $\displaystyle x=\cosh y$ and $\displaystyle x\ge1,\,y\ge0$
$\displaystyle y=\tanh^{-1}x$ $\displaystyle x=\tanh y$ and $\displaystyle -1\lt x\lt 1$

2.

등식 정의역 정의역(다른 표현)
$\displaystyle \sinh^{-1}x=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$ $\displaystyle x\in(-\infty,\infty)$ $\displaystyle \mathbb{R}$
$\displaystyle \cosh^{-1}x=\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)$ $\displaystyle x\in[1,\infty)$ $\displaystyle x\ge1$
$\displaystyle \tanh^{-1}x=\frac12\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ $\displaystyle x\in(-1,1)$ $\displaystyle |x| \lt 1,\,-1 \lt x \lt 1$
$\displaystyle \coth^{-1}x=\frac12\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$ $\displaystyle x\in(-\infty,1)\cup(1,\infty)$ $\displaystyle |x|>1$
$\displaystyle \operatorname{sech}^{-1}x=\ln\left(\frac1{x}+\sqrt{\frac{1}{x^2}-1}\right)$ $\displaystyle x\in(0,1]$ $\displaystyle 0\lt x\le1$
$\displaystyle \operatorname{csch}^{-1}x=\ln\left(\frac1{x}+\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}\right)$ $\displaystyle x\in(-\infty,0)\cup(0,\infty)$ $\displaystyle x\ne 0$

3. 등식과 증명

$\displaystyle \sinh^{-1}x=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$
$\displaystyle x\in(-\infty,\infty)$
{
증명
Let
$\displaystyle y=\sinh^{-1}x$
then
$\displaystyle x=\sinh y=\frac{e^y-e^{-y}}{2}$
$\displaystyle e^y-2x-e^{-y}=0$
양변에 $\displaystyle e^y$ 를 곱하면
$\displaystyle e^{2y}-2xe^{y}-1=0$
$\displaystyle (e^y)^2-2x(e^y)-1=0$
이렇게 $\displaystyle e^y$ 에 대한 이차방정식이 나오고, 근의 공식을 쓰면
$\displaystyle e^y=\frac{2x\pm\sqrt{4x^2+4}}{2}=x\pm\sqrt{x^2+1}$
그런데 지수함수인 $\displaystyle e^y>0$ 이므로
$\displaystyle e^y=x+\sqrt{x^2+1}$
$\displaystyle y=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$
}

$\displaystyle \cosh^{-1}x=\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)$
$\displaystyle x\in[1,\infty)$ i.e. $\displaystyle x\ge 1$
{
증명 1
$\displaystyle y=\cosh^{-1}x$ 라 하면
$\displaystyle y\ge0$ 이고
$\displaystyle x=\cosh y=\frac12\left(e^y+e^{-y}\right)$
$\displaystyle e^y+e^{-y}=2x$
$\displaystyle e^y-2x+e^{-y}=0$
양변에 $\displaystyle e^y$ 를 곱해도 같으므로
$\displaystyle (e^y)^2-2xe^y+1=0$
이러면 근의 공식을 적용할 수 있다.
$\displaystyle e^y=x\pm\sqrt{x^2-1}$
근데 $\displaystyle y\ge0$ 이므로 $\displaystyle e^y\ge 1$ 이다. 따라서
$\displaystyle e^y=x+\sqrt{x^2-1}$

증명 2: $\displaystyle x\ge1$ 에 대해 $\displaystyle \cosh^{-1}x=\ln(x+\sqrt{x^2-1})$ 임을 보여라.
Sol.
역함수의 정의로부터
$\displaystyle x=\cosh y=\frac{e^y+e^{-y}}2,\;y\ge0$
이고 양변에 $\displaystyle 2e^y$ 를 곱하면
$\displaystyle e^{2y}+1=2e^yx$
$\displaystyle e^{2y}-2e^yx+1=0$
을 얻는다. $\displaystyle u=e^y(\ge1)$ 로 놓으면 $\displaystyle u$ 에 대한 이차식
$\displaystyle u^2-2xu+1=0$
을 얻고 $\displaystyle u\ge1$ 이므로 근의 공식에서
$\displaystyle u=x+\sqrt{x^2-1}(=e^y)$
임을 알 수 있다. 로그를 취하면
$\displaystyle y=\ln(x+\sqrt{x^2-1})$
을 얻는다.
}

$\displaystyle \tanh^{-1}x=\frac12\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$
$\displaystyle x\in(-1,1)$
증명{
$\displaystyle y=\tanh^{-1}x$
$\displaystyle x=\tanh y$
$\displaystyle =\frac{\sinh y}{\cosh y}$
$\displaystyle =\frac{e^y-e^{-y}}{e^y+e^{-y}}$
$\displaystyle =\frac{e^{2y}-1}{e^{2y}+1}$
$\displaystyle (e^{2y}+1)x=e^{2y}-1$
$\displaystyle xe^{2y}+x=e^{2y}-1$
$\displaystyle (x-1)e^{2y}=-1-x$
$\displaystyle e^{2y}=\frac{1+x}{1-x}$
$\displaystyle 2y=\ln\frac{1+x}{1-x}$
$\displaystyle y=\frac12\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\quad(-1\lt x\lt 1)$
}

$\displaystyle \coth^{-1}x=\frac12\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$
$\displaystyle x\in(-\infty,1)\cup(1,\infty)$

$\displaystyle \operatorname{sech}^{-1}x=\ln\left(\frac1{x}+\sqrt{\frac{1}{x^2}-1}\right)$
$\displaystyle x\in(0,1]$ i.e. $\displaystyle 0\lt x\le1$

$\displaystyle \operatorname{csch}^{-1}x=\ln\left(\frac1{x}+\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}\right)$
$\displaystyle x\in(-\infty,0)\cup(0,\infty)$ i.e. $\displaystyle x\ne 0$

4. 역쌍곡함수의 미분

$\displaystyle \frac{d}{dx}(\sinh^{-1}x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$
증명{
Let
$\displaystyle y=\sinh^{-1}x,\;x=\sinh y$
Differentiating w.r.t. $\displaystyle x,$
$\displaystyle 1=\cosh y\frac{dy}{dx}$
Since $\displaystyle \cosh^2y-\sinh^2y=1,\;\cosh y=\sqrt{1+\sinh^2 y}\;(\cosh y\ge 0)$
$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac1{\cosh y}=\frac1{\sqrt{1+\sinh^2 y}}=\frac1{\sqrt{1+x^2}}\quad\square$
}


$\displaystyle \frac{d}{dx}\cosh^{-1}x=\frac1{\sqrt{x^2-1}}\quad (x>1)$
증명
$\displaystyle y=\cosh^{-1}x$ 라고 하면 $\displaystyle x=\cosh y,\;y\ge0$ 이다. 양변을 x에 대해 미분하면
$\displaystyle 1=\sinh y\cdot\frac{dy}{dx}$
한편 $\displaystyle \cosh^2y-\sinh^2y=1$ 이고 $\displaystyle y\ge0$ 이므로
$\displaystyle \sinh y=\sqrt{\cosh^2y-1}=\sqrt{x^2-1}$
이다. 따라서
$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac1{\sinh y}=\frac1{\sqrt{x^2-1}}$
을 얻는다.