삼각함수,trigonometric_function
역삼각함수,inverse_trigonometric_function
쌍곡선함수,hyperbolic_function
역쌍곡선함수,inverse_hyperbolic_function

linked from 함수,function

참 쉬운 사실

arc- prefix을 붙이거나 -1제곱(^-1)으로 표기
표기 ^-1을 역수로 해석하면 안 됨

1/sin(x)는 csc(x)로 표기하고 sin^-1(x)로 표기하지 않음

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1. 정의역과 치역 ¶

	domain	range		domain	range
arcsin	$\displaystyle [-1,1]$	$\displaystyle [-\frac\pi2,\frac\pi2]$	arccsc	$\displaystyle (-\infty,-1]\cup[1,\infty)$	$\displaystyle [-\frac{\pi}2,0)\cup(0,\frac{\pi}2]$ (W) $\displaystyle \left(0,\frac{\pi}{2}\right]\cup\left(\pi,\frac32\pi\right]$ (S)
arccos	$\displaystyle [-1,1]$	$\displaystyle [0,\pi]$	arcsec	$\displaystyle (-\infty,-1]\cup[1,\infty)$	$\displaystyle [0,\frac{\pi}2)\cup(\frac{\pi}2,\pi]$ (W) $\displaystyle \left[0,\frac{\pi}{2}\right)\cup\left[\pi,\frac32\pi\right)$ (S)
arctan	$\displaystyle \mathbb{R}$	$\displaystyle (-\frac\pi2,\frac\pi2)$	arccot	$\displaystyle \mathbb{R}$	$\displaystyle (0,\pi)$

(W) : Wikipedia?
(M) : Stewart? See 연대 미적 TA노트 at https://blog.naver.com/mindo1103/222242305417

위의 표는 다시 말해,

	domain	range		domain	range
arcsin	$\displaystyle -1\le x\le 1$	$\displaystyle -\frac{\pi}{2}\le y\le\frac{\pi}{2}$	arccsc	$\displaystyle x\le -1\textrm{ or }x\ge 1$	$\displaystyle -\frac{\pi}{2}\le y\le\frac{\pi}{2},\,y\ne 0$
arccos	$\displaystyle -1\le x\le 1$	$\displaystyle 0\le y\le \pi$	arcsec	$\displaystyle x\le -1\textrm{ or }x\ge 1$	$\displaystyle 0\le y\le\pi,\,y\ne\frac{\pi}{2}$
arctan	$\displaystyle -\infty	$\displaystyle -\frac{\pi}{2}	arccot	$\displaystyle -\infty	$\displaystyle 0

arccsc에 대한 건 통일된 것은 아니다 (교재에 따라 다를 수 있다)

$\displaystyle y=\sin^{-1}x$	⇔	$\displaystyle \sin y=x$ and $\displaystyle -\frac{\pi}2\le y\le \frac{\pi}2$
$\displaystyle y=\cos^{-1}x$	⇔	$\displaystyle \cos y=x$ and $\displaystyle 0\le y\le \pi$
$\displaystyle y=\tan^{-1}x$	⇔	$\displaystyle \tan y=x$ and $\displaystyle -\frac{\pi}2

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2. arcsin, arccos가 포함된 항등식 ¶

$\displaystyle \cos^{-1}x+\cos^{-1}(-x)=\pi$

x>0이면,
$\displaystyle \sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\frac{\pi}2$ .....(1)

(Thomas p50)

(1)을 미분하면,

$\displaystyle \frac{d}{dx}(\cos^{-1}x)=0-\frac{d}{dx}(\sin^{-1}x)$

즉, arcsin_x(아크사인)_미분_증명에 의해

$\displaystyle \frac{d}{dx}(\cos^{-1}x)=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}$

이렇게 arccos_x(아크코사인)_미분_증명이 나온다.
비슷한 방법을 다음 식에도 적용 가능.

$\displaystyle \cot^{-1}x+\tan^{-1}x=\frac{\pi}2$

$\displaystyle \csc^{-1}x+\sec^{-1}x=\frac{\pi}2$

(Briggs p217)

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3. 역삼각함수의 도함수 ¶

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3.1. (arcsin x)' ¶

$\displaystyle \fbox{\frac{d}{dx}(\sin^{-1}x)=\frac1{\sqrt{1-x^2}}}\;[-1,1]\mapsto[-\frac\pi2,\frac\pi2]$ <- 이 범위 맞나??

Pf. Let

$\displaystyle y=\sin^{-1}x\; \left(-1

그러면

$\displaystyle \sin y=x$

이므로

$\displaystyle \cos y \frac{dy}{dx}=1$
$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac1{\cos y}$

그런데 $\displaystyle \sin^2y+\cos^2y=1$ 이고, 위의 $\displaystyle y$ 범위에 따라 $\displaystyle \cos y>0$ 이므로

$\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

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3.2. (arccos x)' ¶

$\displaystyle \fbox{(\cos^{-1}x)'=-\frac1{\sqrt{1-x^2}} \quad (-1

성질:

$\displaystyle \cos^{-1}(\cos x)=x \quad(0\le x\le\pi)$
$\displaystyle \cos(\cos^{-1}x)=x \quad(-1\le x\le 1)$

주의:

$\displaystyle y=\cos x$ 는 짝함수(우함수)이지만
$\displaystyle y=\cos^{-1}x$ 는 짝함수가 아니다.

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3.3. (arctan x)' ¶

$\displaystyle \fbox{(\tan^{-1}x)'=\frac{1}{1+x^2}}\;\mathbb{R}\mapsto\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$

성질 1

$\displaystyle \tan^{-1}(\tan x)=x\quad\quad (-\frac{\pi}2
$\displaystyle \tan(\tan^{-1}x)=x\quad\quad (x\in\mathbb{R})$

성질 2

$\displaystyle \tan^{-1}(-x)=-\tan^{-1}x$

(즉, arctan은 홀함수)

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3.4. (arccsc x)' ¶

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3.5. (arcsec x)' ¶

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3.6. (arccot x)' ¶

따라서 표로 만들면 다음과 같다.

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4. 도함수 표 ¶

변수 x가 있을 때,

$\displaystyle \sin^{-1}x$	$\displaystyle \csc^{-1}x$
$\displaystyle \cos^{-1}x$	$\displaystyle \sec^{-1}x$
$\displaystyle \tan^{-1}x$	$\displaystyle \cot^{-1}x$

의 도함수는 각각

$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\displaystyle \frac{1}{\|x\|\sqrt{x^2-1}}$
$\displaystyle \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\displaystyle \frac{-1}{\|x\|\sqrt{x^2-1}}$
$\displaystyle \frac1{1+x^2}$	$\displaystyle \frac{-1}{1+x^2}$

acsc, asec 미분에 분모가 |x|라고 하는 곳도 있고 x라고 하는 곳도 있는데 CLEANUP

복습: 함수 u가 있을 때,

$\displaystyle \sin^{-1}u$	$\displaystyle \csc^{-1}u$
$\displaystyle \cos^{-1}u$	$\displaystyle \sec^{-1}u$
$\displaystyle \tan^{-1}u$	$\displaystyle \cot^{-1}u$

의 도함수는 각각

$\displaystyle \frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$	$\displaystyle gg$
$\displaystyle x$	$\displaystyle x$
$\displaystyle x$	$\displaystyle x$

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5. TOCLEANUP below ¶

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6. 역삼각함수 미분표 ¶

$\displaystyle !mimetex $$\begin{array}{|rl|rl|}\hline\\[10] \frac{d}{dx}\sin^{-1}x &= \frac1{\sqrt{1-x^2}} & \frac{d}{dx}\csc^{-1}x &= -\frac1{|x|\sqrt{x^2-1}}\\[10] \frac{d}{dx}\cos^{-1}x &= -\frac1{\sqrt{1-x^2}} & \frac{d}{dx}\sec^{-1}x &= \frac1{|x|\sqrt{x^2-1}}\\[10] \frac{d}{dx}\tan^{-1}x &= \frac1{1+x^2} & \frac{d}{dx}\cot^{-1}x &= -\frac1{1+x^2}\\[10] \hline\end{array}$$

식	정의역	식	정의역
$\displaystyle \frac{d}{dx}(\sin^{-1}x)=\frac1{\sqrt{1-x^2}}$	$\displaystyle -1	$\displaystyle \frac{d}{dx}(\csc^{-1}x)=-\frac1{\|x\|\sqrt{x^2-1}}$	$\displaystyle \textrm{ for }\|x\|>1$
$\displaystyle \frac{d}{dx}(\cos^{-1}x)=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}$	$\displaystyle \textrm{ for }-1	$\displaystyle \frac{d}{dx}(\sec^{-1}x)=\frac1{\|x\|\sqrt{x^2-1}}$	$\displaystyle \|x\|>1$
$\displaystyle \frac{d}{dx}(\tan^{-1}x)=\frac1{1+x^2}$	$\displaystyle -\infty	$\displaystyle \frac{d}{dx}(\cot^{-1}x)=-\frac1{1+x^2}$	$\displaystyle \textrm{ for }-\infty