arcsin_x(아크사인)_미분_증명

정리

$\displaystyle \frac{d}{dx}\sin^{-1}x=\frac1{\sqrt{1-x^2}}$

증명

아크사인을 $\displaystyle y$ 로 놓는다. $\displaystyle -1\le x\le 1$ 일 때,
$\displaystyle y=\sin^{-1}x$ 다시말해
$\displaystyle \sin y=x$
이다. 양변을 $\displaystyle x$ 에 대해 미분하면,
$\displaystyle \cos y\frac{dy}{dx}=1$
따라서
$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac1{\cos y}=\pm\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2y}}=\pm\frac1{\sqrt{1-x^2}}$
그런데 $\displaystyle -\frac{\pi}{2}\le y \le \frac{\pi}{2}$ 이므로, $\displaystyle \cos y\ge0$ 이다. 따라서,
$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac1{\sqrt{1-x^2}}$