미분방정식을 대수방정식으로.
(미분방정식,differential_equation을 대수

방정식,equation으로.)

cursive L: 𝓛

좋은 점

불연속함수를 자연스럽게 다룰 수 있다

1. 정의
2. 선형성
3. 기본적인 것 몇가지...
4. 표: Transform of Some Basic Functions
5. 역라플라스변환 Inverse Laplace Transform
6. Laplace Transform of Derivatives
7. First Translation Theorem
8. Inverse Form of the First Translation Theorem
9. References

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1. 정의 ¶

$t\ge0$ 에서 졍의된 함수 $f(t)$ 에 대해 이상적분

$\int_0^{\infty}e^{-st}f(t)dt=\lim_{b\to\infty}\int_0^be^{-st}f(t)dt$

가 수렴할 때 그 극한을 $f(t)$ 의 라플라스 변환이라 하고

$F(s)=\mathcal{L}\left{f(t)\right}=\int_0^{\infty}e^{-st}f(t)dt$

라 쓴다

함수 $f(t)$ 의 정의역이 $[0,\infty)$ 이고 여기서 piecewise continuous 라고 하자.
(연속인데 완벽한 연속일 필요는 없고, 몇 군데에서 끊어져도 됨)

$\mathscr{L}\{f(t)\}(s):=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)dt$

을 $f(t)$ 의 라플라스 변환이라고 한다. (Laplace transform of $f(t)$ )
이것은 $s$ 에 대한 함수이다. (존재할 경우)

예)
$\mathscr{L}\{1\}(s)=\int_0^{\infty}e^{-st}\cdot1dt$ ( $s\le0$ 일 때는 정의 안 됨 )

$=\left[-\frac1s e^{-st}\right]_0^{\infty}$
$=\lim_{a\to\infty}\left[-\frac1s e^{-st}\right]_0^a$
$=\lim_{a\to\infty}\left(-\frac1s e^{-sa}+\frac1s\right)$
$=\frac1s$

예)
$\mathscr{L}\{t\}(s)=\int_0^{\infty}e^{-st}tdt$ 이것을 부분적분하면,

$=\left[-\frac1se^{-st}\cdot t\right]_0^{\infty}-\int\nolimits_0^{\infty}\left(-\frac1se^{-st}\right)\cdot1dt$ s>0이므로,
$=(0-0)+\frac1s\int\nolimits_0^{\infty}e^{-st}dt$
$=\frac1{s^2}$

........이하 $\int_0^{\infty}$ 의 아래끝 위끝 생략.........

예)
$\mathscr{L}\{e^{-3t}\}(s)=\int e^{-st}e^{-3t}dt$

$=\int e^{-(s+3)t}dt$ s>-3이므로
$=\frac1{s+3}$

따라서 지수함수를 넣으면 유리함수가 나온다.
$\mathscr{L}\{e^{-at}\}=\frac1{s+a}\quad(s>-a)$

예)
$\mathscr{L}\{\sin2t\}=\int e^{-st}\sin2tdt$
부분적분하면

$=\left[-\frac1se^{-st}\sin2t\right]_0^{\infty}-\int\left(-\frac1se^{-st}\cdot2\cos2t\right)dt$
$=0+\frac2s\int e^{-st}\cos 2t dt$
$=\frac2s\cdot\mathscr{L}\{\cos 2t\}$
$=\frac2s\left[\left[-\frac1se^{-st}\cos2t\right]_0^{\infty}-\int(-\frac1s e^{-st})(-2\cdot\sin 2t)dt\right]$
$=\frac2s\left[\left(0-(-\frac1s)\right)-\frac2s\int_0^{\infty}e^{-st}\sin 2tdt\right]$

이렇게 원래 구하고자 하던 $\mathscr{L}\{\sin2t\}$ 꼴이 나옴
그러므로 정리하면
$\mathscr{L}\{\sin2t\}=\frac2{s^2}-\frac4{s^2}\cdot\mathscr{L}\left{\sin2t\right}$
$(1+\frac4{s^2})\mathscr{L}\{\sin2t\}=\frac2{s^2}$
$\mathscr{L}\{\sin2t\}=\frac{\frac{2}{s^2}}{1+\frac{4}{s^2}}=\frac2{s^2+4}\quad (s>0)$
$\mathscr{L}\{\cos2t\}=\frac{s}{2}\cdot\mathscr{L}\{\sin2t\}=\frac{s}{s^2+4}\quad (s>0)$

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2. 선형성 ¶

$\mathscr{L}\{3t-5\sin2t\}$

$=3\mathscr{L}\{t\}-5\mathscr{L}\{\sin 2t\}$
$=3\cdot\frac1{s^2}-5\cdot\frac2{s^2+4}$

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3. 기본적인 것 몇가지... ¶

$\mathcal{L}\left{ 1 \right}=\frac1s$
$\mathcal{L}\left{ t \right}=\frac1{s^2}=\frac{1!}{s^2}$
$\mathcal{L}\left{ t^2 \right}=\frac2{s^3}=\frac{2!}{s^3}$
$\mathcal{L}\left{ t^3 \right}=\frac6{s^4}=\frac{3!}{s^4}$

$\vdots$

$\mathcal{L}\left{ t^n \right}=\frac{n!}{s^{n+1}}$

$\mathcal{L}\left{ \sin kt \right}=\frac{k}{s^2+k^2}$

$\mathcal{L}\left{ \cos kt \right}=\frac{s}{s^2+k^2}$

$\mathcal{L}\left{ \sinh kt \right}=\frac{k}{s^2-k^2}$

$\mathcal{L}\left{ \cosh kt \right}=\frac{s}{s^2-k^2}$

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4. 표: Transform of Some Basic Functions ¶

x	𝓛{x}	정의되는 경우
$1$	$\frac1s$	(s>0)
$t^n$	$\frac{n!}{s^{n+1}}\;\;n=1,2,3,\cdots$	(s>0)
$e^{at}$	$\frac1{s-a}$	(s>a)
$\sin kt$	$\frac{k}{s^2+k^2}$	(s>0)
$\cos kt$	$\frac{s}{s^2+k^2}$	(s>0)
$\sinh kt$	$\frac{k}{s^2-k^2}$	(s>0)
$\cosh kt$	$\frac{s}{s^2-k^2}$	(s>0)

참고로 𝓛{1/t}는 존재하지 않는다. (s≤0일 때도, s>0일 때도 ∞로 발산)
라플라스변환의 약점(?).

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5. 역라플라스변환 Inverse Laplace Transform ¶

(동영상 - 역라플라스 변환, 도함수의 라플라스 변환)

$\left{f(t)\right} \overset{\longrightarrow^{\mathscr{L}}}{\longleftarrow_{\mathscr{L}^{-1}}} \left{F(s)\right}$

$\mathscr{L}^{-1}\left{\frac1s\right}=1?$
$\mathscr{L}^{-1}\left{\frac1{s^2}\right}=t?$
$\mathscr{L}^{-1}\{\cdots\}$ 이 유일한가? 즉 $\mathscr{L}$ 이 단사인가? 답은 yes & no. 연속함수 중에서 고르면 유일하다.

$\mathcal{L}^{-1}\left{\frac1s\right}=1$
$\mathcal{L}^{-1}\left{\frac1{s^{n+1}}\right}=\frac1{n!}t^n \;\;\;n=1,2,\cdots$
$\mathcal{L}^{-1}\left{\frac1{s-a}\right}=e^{at}$
$\mathcal{L}^{-1}\left{\frac{k}{s^2+k^2}\right}=\sin kt$
$\mathcal{L}^{-1}\left{\frac{s}{s^2+k^2}\right}=\cos kt$
$\mathcal{L}^{-1}\left{\frac{k}{s^2-k^2}\right}=\sinh kt$
$\mathcal{L}^{-1}\left{\frac{s}{s^2-k^2}\right}=\cosh kt$
sk 아니고 ks순이다..

예
$\mathcal{L}^{-1}\left{\frac{1}{(s-1)(s+2)(s+4)}\right}$ ?

$\frac{1}{(s-1)(s+2)(s+4)}=\frac{A}{s-1}+\frac{B}{s+2}+\frac{C}{s+4}$
미정계수법을 쓰면
$A=\frac1{15},B=-\frac16,C=\frac1{10}$

$=\mathcal{L}^{-1}\left{\frac{1}{15}\cdot\frac1{s-1}-\frac16\cdot\frac1{s+2}+\frac1{10}\cdot\frac1{s+4}\right}$
선형성을 쓰면
$=\frac1{15}\mathcal{L}^{-1}\left{\frac{1}{s-1}\right}-\frac16\mathcal{L}^{-1}\left{\frac1{s+2}\right}+\frac1{10}\mathcal{L}^{-1}\left{\frac1{s+4}\right}$
$=\frac1{15}e^{t}-\frac16e^{-2t}+\frac1{10}e^{-4t}$

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