정리:
함수 $\displaystyle f$ 가 $\displaystyle x=a$ 에서 미분가능이면,
즉 $\displaystyle f'(a)$ 가 존재하면,
함수 $\displaystyle f$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 연속이다.
즉 $\displaystyle f'(a)$ 가 존재하면,
함수 $\displaystyle f$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 연속이다.
미분가능하면 연속이다.
증명 ¶
먼저, $\displaystyle f$ 가 $\displaystyle x=a$ 에서 미분가능이므로,
$\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)$ ...(1)
가 성립한다.$\displaystyle f$ 가 $\displaystyle x=a$ 에서 연속임을 보이기 위해,
$\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=f(a)$
임을 보이면 된다. 따라서 다음 식이 0임을 보이면 된다.$\displaystyle \lim_{x\to a}\left[f(x)-f(a)\right]$
변형하면$\displaystyle =\lim_{x\to a}\left[\frac{f(x)-f(a)}{x-a}(x-a)\right]$
$\displaystyle =\lim_{x\to a}\left[\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\right]\cdot\lim_{x\to a}(x-a)$
(1)에 의해$\displaystyle =\lim_{x\to a}\left[\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\right]\cdot\lim_{x\to a}(x-a)$
$\displaystyle =f'(a)\cdot 0$
$\displaystyle =0$
$\displaystyle =0$
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