$\displaystyle \epsilon>0,\delta>0$ 임. 둘 다 작은 양수.

$\displaystyle f(x)$ is within $\displaystyle \epsilon$ of $\displaystyle L$ 의 뜻:
or equivalently,
그러면 $\displaystyle f(x)$ 는 개구간 $\displaystyle (L-\epsilon,L+\epsilon)$ 에 놓임

$\displaystyle x$ 는 $\displaystyle c$ 는 아니지만, $\displaystyle c$ 에 매우 가깝다. $\displaystyle \delta$ 범위 안에서. 이것의 표현으로 가장 적절한 부등식은:
여기서
좌측 $\displaystyle 0\lt |x-c|$ 는 $\displaystyle x\ne c$ 를 뜻하고,
우측 $\displaystyle |x-c|\lt \delta$ 는 $\displaystyle -\delta\lt |x-c|\lt \delta$ 즉 $\displaystyle c-\delta\lt x\lt c+\delta$ 를 뜻함.

그러면,

• 어떠한 $\displaystyle \epsilon>0$ 이 주어지더라도
  
• 대응하는 $\displaystyle \delta>0$ 이 존재하여
  

$\displaystyle 0\lt |x-c|\lt \delta \;\Rightarrow\; |f(x)-L|\lt \epsilon$ 이면, 그것이 바로
의 뜻이다.

$\displaystyle \lim_{x\to 0}\sin\frac1x$ 는 존재하지 않는다.
(x가 0으로 가면서 무한히 진동하는 그래프)

$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}$
는 0/0 꼴이므로 로피탈정리에 의해

의 뜻은 다음과 같다.
임의의 $\displaystyle \epsilon>0$ 에 대하여, (아무리 작아도 상관 없음)
그에 대응하는 $\displaystyle \delta>0$ 가 있다.
어떤 델타냐면 $\displaystyle 0<|x-c|<\delta$ 일 때, $\displaystyle |f(x)-L|<\epsilon$ 인 그런 델타가 모든 입실론에 대해 존재한다.

(함수 $\displaystyle f$ 가 $\displaystyle a$ 근방에서 정의되어 있음을 가정, $\displaystyle a$ 에서 정의되지는 않아도 됨)
We write
if for every number ε>0 there is a number δ>0 such that

아래 예제들 (from Varberg's Calculus or Calculus Single Variable 6e)

Prove that $\displaystyle \lim_{x\to 3}2x=6$ .

We must show how: given any $\displaystyle \epsilon>0$ , we can find a $\displaystyle \delta>0$ such that:
Since $\displaystyle |2x-6|=2|x-3|$ ,
to get $\displaystyle |2x-6|<\epsilon$ ,
we require that $\displaystyle |x-3|<\frac{\epsilon}{2}$ .
Thus we take $\displaystyle \delta=\frac{\epsilon}{2}$ .

Prove that $\displaystyle \lim_{x\to 4}(3x-7)=5$

$\displaystyle 0<|x-4|<\delta \Rightarrow |(3x-7)-5|<\epsilon$ 을 증명하면 된다.
우변은
따라서

(Stewart 번역판에서)

$\displaystyle \lim_{x\to 3}(4x-5)=7$ 을 증명하라.

풀이

1. 문제에 대한 예비 분석( $\displaystyle \delta$ 값을 추측 )
$\displaystyle \epsilon$ 을 주어진 양수라 하자. 다음을 만족하는 수 $\displaystyle \delta$ 를 구해야 함.
그런데
이므로 원하는 $\displaystyle \delta$ 는 다음과 같음.
이는 $\displaystyle \delta=\epsilon/4$ 로 선택할 수 있음을 시사한다.

2. 증명( $\displaystyle \delta$ 가 적합하다는 것을 보임 )
주어진 $\displaystyle \epsilon>0$ 에 대해 $\displaystyle \delta=\epsilon/4$ 을 선택한다.
$\displaystyle 0<|x-3|<\delta$ 이면 다음과 같다.
따라서 $\displaystyle 0<|x-3|<\delta$ 일 때 $\displaystyle |(4x-5)-7|<\epsilon$ 이다.

Prove that $\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{2x^2-3x-2}{x-2}=5$

$\displaystyle 0<|x-2|<\delta\Rightarrow \left|\frac{2x^2-3x-2}{x-2}-5\right|<\epsilon$
을 만족하는 델타를 찾는 것이 임무다.

우변을 보면, $\displaystyle x\ne 2$ 인 경우,
따라서
로 하면 됨.

$\displaystyle c>0$ 일 때 $\displaystyle \lim_{x\to c}\sqrt{x}=\sqrt{c}$ 증명

사전조사

we must find delta such that
$\displaystyle 0<|x-c|<\delta\Rightarrow |\sqrt{x}-\sqrt{c}|<\varepsilon$

$\displaystyle |\sqrt{x}-\sqrt{c}|$
to make the latter less than epsilon requires that we have $\displaystyle |x-c|<\epsilon\sqrt{c}.$

formal proof

Let $\displaystyle \varepsilon>0$ be given. Choose $\displaystyle \delta=\varepsilon\sqrt{c}.$ Then
implies that
There's one technical point here: We began with c>0, but it could happen that c sits very close to 0 on the x-axis. We should insist that $\displaystyle \delta\le c,$ for then $\displaystyle |x-c|<\delta$ implies that x>0 so that $\displaystyle \sqrt{x}$ is defined. Thus, for absolute rigor, choose $\displaystyle \delta$ to be the smaller of c and $\displaystyle \epsilon\sqrt{c}.$

$\displaystyle \lim_{x\to3}(x^2+x-5)=7$ 증명.

사전분석.
목표는 다음을 만족하는 $\displaystyle \delta$ 를 찾는 것.
항 $\displaystyle |x-3|$ 은 우리가 원하는 만큼 작게 될 수 있고,
$\displaystyle |x+4|$ 는 대략 7임을 안다.
그러므로, $\displaystyle |x+4|$ 의 upper bound를 찾는다.
그렇게 하려면, 먼저 $\displaystyle \delta\le1$ 임에 동의해야 한다. 그러면 $\displaystyle |x-3|<\delta$ 는 다음을 함축한다.
(다른 방식:
만약 $\displaystyle \delta\le\epsilon/8$ 을 require하면, 곱 $\displaystyle |x+4| |x-3|$ 은 $\displaystyle \epsilon$ 보다 작을 것임.

증명.
Choose $\displaystyle \delta=\min(1,\epsilon/8).$ Then $\displaystyle 0<|x-3|<\delta$ 는 다음을 함축.
$\displaystyle |(x^2+x-5)-7|=|x^2+x-12|=|x+4| |x-3|<8\cdot\frac{\epsilon}8=\epsilon$

Prove that $\displaystyle \lim_{x\to3}(x^2+x-5)=7$

Sol. 다음을 만족하는 델타를 찾으면 됨.
우변은
$\displaystyle \delta \le 1$ 이라고 가정하면, $\displaystyle |x-3|<1$ 이고,
즉
또는 다음 과정을 거쳐도 된다.
양변에 $\displaystyle |x-3|$ 을 곱하면
$\displaystyle \delta\le\frac{\epsilon}8$ 이라 하면,- ??? TODO

아무튼
으로 잡으면

Prove that $\displaystyle \lim_{x\to c}x^2=c^2$

Pf.
임을 보이면 됨

답은 choose $\displaystyle \delta=\operatorname{min}\left(1,\frac{\epsilon}{1+2|c|}\right)$
then $\displaystyle 0<|x-c|<\delta$ implies that

Prove that $\displaystyle \lim_{x\to c}\frac1x=\frac1c,c\ne0.$

사전분석
$\displaystyle |\frac1x-\frac1c|=|\frac{c-x}{xc}|=\frac1{|x|}\cdot\frac1{|c|}\cdot|x-c|$
1/|x|는 특히 x가 0근방에서 위험(troublesome). x를 0이 아닌 것으로 해야함.
그래서, $\displaystyle \delta\le|c|/2$ 로 잡으면, $\displaystyle |x|\ge |c|/2$ 로 만들 수 있다. 마지막으로 $\displaystyle \delta\le\epsilon c^2/2$ 이면,
증명
Let $\displaystyle \epsilon>0$ be given. Choose $\displaystyle \delta=\min\{|c|/2,\epsilon c^2/2\}.$ Then
implies

$\displaystyle \lim_{x\to 2}(5x-7)=3$
sol.
$\displaystyle 0<|x-2|
$\displaystyle |5x-10|
$\displaystyle 5|x-2|
$\displaystyle |x-2|
$\displaystyle d=e/5$

$\displaystyle \lim_{x\to 0}x^5=0$
sol.
$\displaystyle 0<|x-0| implies $\displaystyle |x^5-0|
looking for d:
$\displaystyle |x^5|
$\displaystyle |x|^5
$\displaystyle |x|<\sqrt[5]{e}$
hence,
$\displaystyle d=\sqrt[5]{e}$

$\displaystyle \lim_{x\to 0}3x\sin\frac1{x}=0$
sol:
$\displaystyle \forall e>0,\exists d>0$ s.t.
$\displaystyle 0<|x-0|
looking for d:
$\displaystyle |3x\sin\frac1x|
$\displaystyle 3|x|\cdot|\sin\frac1x|
$\displaystyle 3|x|\cdot1
$\displaystyle |x|<\frac{e}3$
hence we let
$\displaystyle d=\frac{e}3$

http://www.kocw.net/home/cview.do?cid=293242
2.4 극한의 엄밀한 정의
54:41

Prove that
Step 1. (guessing delta)
$\displaystyle \forall M>0,\;0<|x-0|<\delta \;\Rightarrow\; \frac1{x^2}>M$
Step 2.
Given $\displaystyle M>0,$ choose $\displaystyle \delta=\frac1{sqrt{M}}$

의 뜻은,

$\displaystyle f$ 가 $\displaystyle [c,\infty)$ 에 대해 정의되어 있을 때,
의 뜻은, $\displaystyle \epsilon>0$ 에 대해 대응하는 $\displaystyle M$ 이 존재하여
$\displaystyle \epsilon$ 이 작아질수록 $\displaystyle M$ 은 더 커져야 한다.

의 뜻은,

$\displaystyle f$ 가 $\displaystyle (-\infty,c]$ 에 대해 정의되어 있을 때,
의 뜻은, $\displaystyle \epsilon>0$ 에 대해 $\displaystyle M$ 이 존재하여

의 뜻은, $\displaystyle \forall M>0,\;\exists \delta>0$ such that
i.e.

의 뜻:

We say that
if for every positive number $\displaystyle M,$ there exists a corresponding $\displaystyle \delta>0$ such that

의 뜻:

이러한 infinite limits는 점근선,asymptote과도 관련이 있다.

Prove $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac1{x^2}=\infty.$

sol.
양수 $\displaystyle M$ 이 있음. We want to find a number $\displaystyle \delta$ such that
But
So we choose $\displaystyle \delta=\frac1{\sqrt{M}}$ and $\displaystyle 0<|x|<\delta=1/\sqrt{M}$
then $\displaystyle 1/x^2>M.$
This shows that $\displaystyle 1/x^2\to\infty$ as $\displaystyle x\to 0.$

lim(k f(x))=k lim(f(x))의 증명
{
k가 0일 경우는 trivial. k가 0이 아닌 것으로 가정. 극한값이 존재하고 L이라고 가정. 식
을 만족하는 $\displaystyle \delta$ 가 존재.
Someone is sure to complain that we put $\displaystyle \epsilon/|k|$ rather than $\displaystyle \epsilon$ at the end of the inequality above. Well, isn't $\displaystyle \epsilon/|k|>0$ ? Yes. Doesn't the definition of limit require that for any positive number there be a corresponding $\displaystyle \delta?$ Yes.
Now, for $\displaystyle \delta$ so determined, we assert that $\displaystyle 0<|x-c|<\delta$ implies that
This shows that
}
lim(f+g)=lim f + lim g의 증명
{
Let $\displaystyle \lim_{x\to c}f(x)=L\textrm{ and }\lim_{x\to c}g(x)=M.$
다음을 만족하는 $\displaystyle \delta_1,\delta_2$ 가 존재.
Choose $\displaystyle \delta=\min(\delta_1,\delta_2).$ Then $\displaystyle 0<|x-c|<\delta$ implies that
첫번째 부등식은 삼각부등식. We've just shown that
따라서
}
lim(f-g)=lim f - lim g의 증명
{
$\displaystyle \lim_{x\to c}(f(x)-g(x))$
}

$\displaystyle f$ 가 $\displaystyle L$ 에서 연속이고 $\displaystyle \lim_{x\to c}g(x)=L$ 이면,
특히 $\displaystyle c$ 에서 $\displaystyle g$ 가 연속이고 $\displaystyle g(c)$ 에서 $\displaystyle f$ 가 연속이면, $\displaystyle c$ 에서 합성함수 $\displaystyle f\circ g$ 는 연속.

주어진 $\displaystyle \epsilon>0$ 에 대응하는 $\displaystyle \delta_1>0$ 가 존재한다. such that
and so
하지만 $\displaystyle \lim_{x\to c}g(x)=L$ 이므로, 주어진 $\displaystyle \delta_1>0$ 에 대해, 대응하는 $\displaystyle \delta_2>0$ 이 존재한다. such that
이 사실들을 모으면,
이 사실은 다음을 증명한다.

See also 급수의_수렴_판정법

Recall: 1학기때 배웠던건

$\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=L$
$\displaystyle \forall\epsilon>0,\exists\delta>0$ such that $\displaystyle 0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\epsilon$

$\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=L$
$\displaystyle \forall\epsilon>0,\exists M>0$ such that $\displaystyle x>M\Rightarrow|f(x)-L|<\epsilon$

...따라서 2학기 수열,sequence부터 배우는 내용

정의)

① $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=L$
$\displaystyle \forall\epsilon>0,\exists N>0$ such that $\displaystyle n>N\quad\Rightarrow\quad|a_n-L|<\epsilon$

② $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n$ 이 존재할 때, {a_n}은 수렴한다고 하고, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n$ 을 {a_n}의 극한이라 한다.
극한값이 존재하지 않으면 발산.

정리)

$\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=L$ 이고 $\displaystyle n\in\mathbb{N}$ 에 대하여 $\displaystyle a_n=f(n)$ 이면, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=L$

정의)

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\infty$
$\displaystyle \forall M>0, \exists N>0$ such that $\displaystyle n>N \Rightarrow a_n>M$

Twin: 극한,limit
Up: 수학,math

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