극한(limit) 뜻(meaning)

$\lim_{x\to 0}\sin\frac1x$ 는 존재하지 않는다.
(x가 0으로 가면서 무한히 진동하는 그래프)





1. 극한의 정확한 뜻

$\lim_{x\to c}f(x)=L$
의 뜻은 다음과 같다.
임의의 $\epsilon>0$ 에 대하여, (아무리 작아도 상관 없음)
그에 대응하는 $\delta>0$ 가 있다.
어떤 델타냐면 $0<|x-c|<\delta$ 일 때, $|f(x)-L|<\epsilon$ 인 그런 델타가 모든 입실론에 대해 존재한다.

아래 예제들 (from Varberg's Calculus or Calculus Single Variable 6e)

2. 6e 예제 1 p.60

Prove that $\lim_{x\to 3}2x=6$ .

We must show how: given any $\epsilon>0$ , we can find a $\delta>0$ such that:
If $0<|x-3|<\delta$ , then $|2x-6|<\epsilon$
Since $|2x-6|=2|x-3|$ ,
to get $|2x-6|<\epsilon$ ,
we require that $|x-3|<\frac{\epsilon}{2}$ .
Thus we take $\delta=\frac{\epsilon}{2}$ .

3. 예제 1

Prove that $\lim_{x\to 4}(3x-7)=5$

$0<|x-4|<\delta \Rightarrow |(3x-7)-5|<\epsilon$ 을 증명하면 된다.
우변은
$|3x-12|<\epsilon$
$|x-4|<\frac{\epsilon}{3}$
따라서
$\delta=\frac{\epsilon}{3}$ 또는 더 작은 양수로 잡으면 됨.

4. 예제 1.1

(Stewart 번역판에서)

$\lim_{x\to 3}(4x-5)=7$ 을 증명하라.

풀이

1. 문제에 대한 예비 분석( $\delta$ 값을 추측 )
$\epsilon$ 을 주어진 양수라 하자. 다음을 만족하는 수 $\delta$ 를 구해야 함.
$0<x-3<\delta$ 일 때 $|(4x-5)-7|<\epsilon$
그런데
$|(4x-5)-7|=|4x-12|=|4(x-3)|=4|x-3|$
이므로 원하는 $\delta$ 는 다음과 같음.
$0<|x-3|<\delta \;\Rightarrow\; 4|x-3|<\epsilon$
$0<|x-3|<\delta \;\Rightarrow\; |x-3|<\frac{\epsilon}{4}$
이는 $\delta=\epsilon/4$ 로 선택할 수 있음을 시사한다.

2. 증명( $\delta$ 가 적합하다는 것을 보임 )
주어진 $\epsilon>0$ 에 대해 $\delta=\epsilon/4$ 을 선택한다.
$0<|x-3|<\delta$ 이면 다음과 같다.
$|(4x-5)-7|=|4x-12|=4|x-3|<4\delta=4\left(\frac{\epsilon}{4}\right)=\epsilon$
따라서 $0<|x-3|<\delta$ 일 때 $|(4x-5)-7|<\epsilon$ 이다.

5. 예제 2

Prove that $\lim_{x\to 2}\frac{2x^2-3x-2}{x-2}=5$

$0<|x-2|<\delta\Rightarrow \left|\frac{2x^2-3x-2}{x-2}-5\right|<\epsilon$
을 만족하는 델타를 찾는 것이 임무다.

우변을 보면, $x\ne 2$ 인 경우,
$\left|\frac{(2x+1)(x-2)}{x-2}-5\right|<\epsilon$
$|(2x+1)-5|<\epsilon$
$|2(x-2)|<\epsilon$
$|x-2|<\frac\epsilon2$
따라서
$\delta=\epsilon/2$
로 하면 됨.

6. 예제 3

Prove that $\lim_{x\to3}(x^2+x-5)=7$

Sol. 다음을 만족하는 델타를 찾으면 됨.
$0<|x-3|<\delta \Rightarrow |(x^2+x-5)-7|<\epsilon$
우변은
$|x+4||x-3|<\epsilon$
$\delta \le 1$ 이라고 가정하면, $|x-3|<1$ 이고,
$|x+4|=|x-3+7|$
$\le |x-3|+|7| $ (삼각부등식)
$< 1+7 = 8$

$|x+4|<8$ 이다.
또는 다음 과정을 거쳐도 된다.
$|x-3|<1$
$-1<x-3<1$
$2<x<4$
$6<x+4<8$
$|x+4|<8$
양변에 $|x-3|$ 을 곱하면
$|x+4||x-3|<8|x-3|$
$\delta\le\frac{\epsilon}8$ 이라 하면,- ??? TODO


아무튼
$\delta=\operatorname{min}(1,\epsilon/8)$
으로 잡으면
$|(x^2+x-5)-7|=|x^2+x-12|=|x+4||x-3|<8\cdot\frac\epsilon8=\epsilon$

7. 예제 4

Prove that $\lim_{x\to c}x^2=c^2$

Pf.
$0<|x-c|<\delta \Rightarrow |x^2-c^2|<\epsilon$
임을 보이면 됨

답은 choose $\delta=\operatorname{min}\left(1,\frac{\epsilon}{1+2|c|}\right)$
then $0<|x-c|<\delta$ implies that
$|x^2-c^2|=|x+c||x-c|=|x-c+2c||x-c|$
$\le(|x-c|+2|c|)|x-c|$ (triangle inequality)
$<(1+2|c|)|x-c|<\frac{(1+2|c|)\cdot\epsilon}{1+2|c|}=\epsilon$

8. 예제 5

Prove that $\lim_{x\to c}\frac1x=\frac1c\;(c\ne0)$

....


9. 무한대 극한 1

$f$$[c,\infty)$ 에 대해 정의되어 있을 때,
$\lim_{x\to\infty}f(x)=L$
의 뜻은, $\epsilon>0$ 에 대해 대응하는 $M$ 이 존재하여
$x>M\Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon$

$\epsilon$ 이 작아질수록 $M$ 은 더 커져야 한다.

10. 무한대 극한 2

$f$$(-\infty,c]$ 에 대해 정의되어 있을 때,
$\lim_{x\to-\infty}f(x)=L$
의 뜻은, $\epsilon>0$ 에 대해 $M$ 이 존재하여
$x<M\Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon$

11. 무한대 극한 3

$\lim_{x\to c^+}f(x)=\infty$
의 뜻은, $\forall M>0,\;\exists \delta>0$ such that
$0<x-c<\delta \Rightarrow f(x)>M$