쉬움:
$\displaystyle \int e^x dx=e^x+C$
$\displaystyle \int\cos xdx=\sin x+C$
$\displaystyle \int\sin xdx=-\cos x+C$

공부할것: pf??

$\displaystyle \int xe^xdx=e^x(x-1)+C$
$\displaystyle \int e^{ax}\cos(bx)dx = \frac{e^{ax}(a \cos (bx)+b\sin(bx))}{a^2+b^2}+C$
$\displaystyle \int e^{ax}\sin(bx)dx = \frac{e^{ax}(a \sin(bx) - b\cos(bx))}{a^2+b^2}+C$
$\displaystyle \int x\cos x dx = x\sin x + \cos x + C$
$\displaystyle \int x\sin xdx=-x\cos x+\sin x+C$

쉬움:
$\displaystyle \sin(A\pm B)=\sin A\cos B\pm \cos A\sin B$
$\displaystyle \cos(A\pm B)=\cos A\cos B\mp\sin A\sin B$
$\displaystyle \sin 2A=2\sin A\cos A$
$\displaystyle \cos 2A=\cos^2A-\sin^2A=2\cos^2A-1=1-2\sin^2A$

공부할것:
$\displaystyle \sin^2\left(\frac{A}{2}\right)=\frac{1-\cos A}{2}$
$\displaystyle \cos^2\left(\frac{A}{2}\right)=\frac{1+\cos A}{2}$
$\displaystyle \sin A\cos B=\frac12\left[\sin(A+B)+\sin(A-B)\right]$
$\displaystyle \cos A\sin B=\frac12\left[\cos(A+B)+\cos(A-B)\right]$
$\displaystyle \sin A\sin B=-\frac12\left[\cos(A+B)-\cos(A-B)\right]$

참고:
기하급수,geometric_series
기하수열,geometric_sequence(=등비수열)

$\displaystyle \sum_{k=0}^{n}r^k=\frac{1-r^{n+1}}{1-r}$
등비수열의 합

위에서 $\displaystyle n$ 이 무한대로 가게 되면, $\displaystyle r$ 의 범위에 따라,
$\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}r^k=\frac{1}{1-r};\quad\quad\quad |r|<1$
무한등비급수의 합

그리고 첫항부터가 아니고 $\displaystyle n$ 항부터 더한다면?
$\displaystyle \sum_{k=n}^{\infty}r^k=\frac{r^n}{1-r};\quad\quad\quad |r|<1$
(두번째 식) - (첫번째 식)

그리고 $\displaystyle n_1$ 항부터 $\displaystyle n_2$ 항까지 더한다면?
$\displaystyle \sum_{k=n_1}^{n_2}r^k=\frac{r^{n_1}-r^{n_2+1}}{1-r}$
QQQ 부분합,partial_sum 부분합,partial_sum?

$\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}kr^k=\frac{r}{(1-r)^2};\quad\quad\quad r<1$
앞에 k가 붙었죠. 일반항을 식으로 나타낸 다음 k를 곱한 식도 만들어서 변변 빼게 되면 얻을 수 있다. 해보시기 부탁합니다.

The set of complex numbers:
복소수 z의 표현
$\displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2}$
$\displaystyle \theta=\tan^{-1}(y/x)$

$\displaystyle x=r\cos\theta$
$\displaystyle y=r\sin\theta$

$\displaystyle j^2=-1$
$\displaystyle j^3=-j$
$\displaystyle j^4=1$
$\displaystyle j^5=j$
$\displaystyle j^6=-1$ ...

$\displaystyle \frac1j=-j$

$\displaystyle r_1e^{j\theta_1}r_2e^{j\theta_2}=r_1r_2e^{j(\theta_1+\theta_2)}$
$\displaystyle \frac{r_1e^{j\theta_1}}{r_2e^{j\theta_2}}=\frac{r_1}{r_2}e^{j(\theta_1-\theta_2)}$

$\displaystyle z=x+jy=re^{j\theta}$
$\displaystyle \Rightarrow$
$\displaystyle z^*=x-jy=re^{-j\theta}$

즉 허수부의 부호만 달라지게 되면 x축 대칭이 되므로 각의 부호가 반대로.

From this definition,
$\displaystyle zz^*=r^2$
$\displaystyle z+z^*=2\mathrm{Re}(z)$ - 허수부 없어지고 실수부만 두배가 되니까.
$\displaystyle z-z^*=2j\mathrm{Im}(z)$ - 실수부 없어지고 허수부만 두배가 되니까.
$\displaystyle (z_1+z_2)^*=z_1^*+z_2^*$
$\displaystyle (az_1z_2)^*=az_1^*z_2^*,\;\;\;a\in\mathbb{R}$
$\displaystyle \left(\frac{z_1}{z_2}\right)^*=\frac{z_1^*}{z_2^*}$

$\displaystyle e^{j\theta}=\cos\theta+j\sin\theta$

이 관계는 다음 series expansions에서 유도 가능하다
$\displaystyle e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$
$\displaystyle \cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots$
$\displaystyle \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$

Also,
$\displaystyle \cos\theta=\frac{\exp(j\theta)+\exp(-j\theta)}{2}$
$\displaystyle \sin\theta=\frac{\exp(j\theta)-\exp(-j\theta)}{2j}$

간단한 예
이하 N은 분자numerator, D는 분모denominator 에서 온 듯 함.

When all roots(근) of denominator(분모) are different,
When there exists any multiple roots(중근) in the denominator,
(이 경우엔 p₂가 r번 연속되는 중근)
where,
(즉 미분을 사용한다.)

Linked from 분수,fraction

(3x3행렬 가정)

Transpose matrix 전치행렬,transpose_matrix
Symmetric matrix 대칭행렬,symmetric_matrix
Identity matrix 항등행렬 = 단위행렬,unit_matrix
Diagonal matrix 대각행렬,diagonal_matrix
Determinant 행렬식,determinant
where $\displaystyle c_{ij}$ is the cofactor of $\displaystyle a_{ij}$ (여인수,cofactor)
where $\displaystyle m_{ij}$ is the determinant of $\displaystyle (n-1)\times(n-1)$ matrix whose $\displaystyle i$ -th row and $\displaystyle j-$ th column are deleted.

Inverse matrix 역행렬,inverse_matrix
where adjA is an adjoint matrix which is defined as
The characteristics of inverse matrix and transpose matrix
(역행렬과 전치행렬의 성질)
Eigenvalue and Eigenvector - 고유값,eigenvalue 고유벡터,eigenvector
(A는 정사각행렬)
Similarity transformation 상사변환. 상사=비슷. See 변환,transformation
주어진 행렬 A가 있을 때 좌우에 각각 P^-1, P를 곱해서 비슷한 B로 변환하는 것.

Diagonalization
where P and D are given by

살펴볼 것

1. 모델링
   
2. 연속시간 물리적 시스템의 예
   
3. 이산시간 물리적 시스템의 예
   
   

모델이란 실제 객체/상황을 추상화한 것 또는 표현한 것
A model is an abstraction of reality or a representation of a real object or situation.

모델의 분류

• physical models
  
• schematic models (그림으로 표현하는)
  
• mathematical models (수식으로 표현하는) ← 이 코스에서 다룰 것
  
  

In this course, models refer to mathematical representations for physical systems and signals

예: RLC회로,RLC_circuit

연속 vs 이산 신호 그래프는 쉬우므로 생략
continuous-time signal
discrete-time signal

물리적 시스템 분석 과정
1. 모델(방정식)을 얻는다
2. 방정식을 푼다 - The equations are solved for typical excitation functions
3. This solution is compared with the response(출력, 응답) of the physical system with the same excitation
4. 두 응답/반응(responses)이 거의 같다면(approximately equal), 이 모델은 분석과 디자인에 쓸 수 있다. 그렇지 않다면, 모델을 개선해서(improve) 위 단계를 반복한다.

실제 시스템을 분석할 때, 수학은 모델에 적용한다. 물리적 시스템에 적용하는 게 아니다..
분석 결과(analysis results)의 유용성(usefulness)은 모델의 정확도(accuracy)에 달렸다.
얼핏 보면 당연한 얘기 같은데 중요해서 써 놓은 건가?