Stewart 에서 다음 chapter를 다루겠다.
12 Vectors and the Geometry of Space (이건 여러분들이 알아서 대충. 앞부분은 빨리 나간다)
13 Vector Functions
14 Partial Derivatives
15 Multiple Integrals
16 Vector Calculus
를 다룸.

5:30
여러분들이 다뤘었던 것은 일변수함수 $\displaystyle y=f(x),\;\mathbb{R}\to\mathbb{R}$
x는 독립변수 y는 종속변수인 그거.
이게 여러개가 될 수 있는 상황을 생각하자.
예를 들면 독립변수가 여러개인
이런 걸 다변수함수,multivariable_function $\displaystyle \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ 이라 한다.

근데 종속변수가 여러개인 상황도 생각할 수 있다.
이게 가장 일반적인형태이며
다변수벡터함수 로 부를 수도 있다.

다변수미적을 할 수 있다는 얘기는 미분기하학,differential_geometry(3학년)을 할 수 있다는 것
그걸 할 수 있다는 얘기는 공간,space을 다룰 수 있다는 것 - 물리학,physics 화학,chemistry 생물학,biology ... 전자기학,electromagnetism ... 을 할 수 있다는 것 - 자연과학의 뼈대가 된다.
그리고 그게 공학,engineering 사회과학,social_science...에도 응용.

과목의 최종 목표는 스토크스_정리,Stokes_theorem. 이건 미적분학의기본정리,FTC{ 미적분학의기본정리,FTC 미적분학의기본정리 } 의 다변수로의 일반화.

12장. Vectors and the Geometry of Space

(표준) 직교좌표계 (Cartesian coordinates)

벡터,vector:

• (방향, 크기)가 있는 것.
  
• (시점, 종점)이 있는 것.
  
  

vecotr를 정하려면

• 두 점
  
• 한 점 + 원점
  
  

vector의 내적,inner_product
정의 언급. skip.
기하학적 의미 언급, $\displaystyle \vec{v_1},\vec{v_2}$ 사잇각이 $\displaystyle \theta$ 라면 $\displaystyle \vec{v_1}\cdot\vec{v_2}=|\vec{v_1}| \, |\vec{v_2}| \, \cos\theta$
$\displaystyle \vec{v_1}\cdot\vec{v_2}=0 \;\Longleftrightarrow\; \vec{v_1},\vec{v_2}:\text{orthogonal}$ (내적의 값이 0이면 두 벡터는 수직) ( $\displaystyle \vec{v_1}\bot\vec{v_2}$ )

vector의 외적,outer_product
정의 skip.
기하학적 의미

방향: 오른손 나사법칙
크기: $\displaystyle \left| \vec{v_1}\times\vec{v_2} \right| = |\vec{v_1}|\,|\vec{v_2}|\,\sin\theta$

$\displaystyle \vec{v_1}\times\vec{v_2}=0 \;\Longleftrightarrow\; \vec{v_1},\vec{v_2}: \text{parallel}$ (외적의 값이 0이면 두 벡터는 평행) ( $\displaystyle \vec{v_1}\parallel\vec{v_2}$ )

내적: 교환법칙 성립. // commutativity
외적: 교환법칙 성립 안함. (anticommutative) // anticommutativity anticommutativity
삼중곱,triple_product
$\displaystyle \vec{v_1}=(a_1,b_1,c_1)$
$\displaystyle \vec{v_2}=(a_2,b_2,c_2)$
$\displaystyle \vec{v_3}=(a_3,b_3,c_3)$
일 때
$\displaystyle \vec{v_1}\cdot(\vec{v_2}\times\vec{v_3})=\det\begin{pmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{pmatrix}$
그리고
$\displaystyle \vec{v_1}\cdot(\vec{v_2}\times\vec{v_3})$
이렇게 cyclic하게 해도 성립.
(행렬식,determinant의 성질)

참고로 $\displaystyle \vec{v_1}\cdot(\vec{v_3}\times\vec{v_2})=\vec{v_3}\cdot(\vec{v_2}\times\vec{v_1})=\vec{v_2}\cdot(\vec{v_1}\times\vec{v_3})=-\vec{v_1}\cdot(\vec{v_2}\times\vec{v_3})$
(위에 anticommutativity 생각하면 바로 왜인지 나옴)

기하학적 의미는

(평행육면체,parallelepiped) 부피,volume

$\displaystyle \vec{v_3}\cdot(\vec{v_1}\times\vec{v_2})=|\vec{v_3}|\cdot|\vec{v_1}\times\vec{v_2}|\cdot\cos\theta$

Stokes_theorem