$\displaystyle \sinh^{-1}x=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$
$\displaystyle x\in(-\infty,\infty)$
{
증명
Let
$\displaystyle y=\sinh^{-1}x$
then
$\displaystyle x=\sinh y=\frac{e^y-e^{-y}}{2}$
$\displaystyle e^y-2x-e^{-y}=0$
양변에
$\displaystyle e^y$ 를 곱하면
$\displaystyle e^{2y}-2xe^{y}-1=0$
$\displaystyle (e^y)^2-2x(e^y)-1=0$
이렇게
$\displaystyle e^y$ 에 대한 이차방정식이 나오고, 근의 공식을 쓰면
$\displaystyle e^y=\frac{2x\pm\sqrt{4x^2+4}}{2}=x\pm\sqrt{x^2+1}$
그런데 지수함수인
$\displaystyle e^y>0$ 이므로
$\displaystyle e^y=x+\sqrt{x^2+1}$
$\displaystyle y=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$
}
$\displaystyle \cosh^{-1}x=\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)$
$\displaystyle x\in[1,\infty)$ i.e. $\displaystyle x\ge 1$
{
증명 1
$\displaystyle y=\cosh^{-1}x$ 라 하면
$\displaystyle y\ge0$ 이고
$\displaystyle x=\cosh y=\frac12\left(e^y+e^{-y}\right)$
$\displaystyle e^y+e^{-y}=2x$
$\displaystyle e^y-2x+e^{-y}=0$
양변에
$\displaystyle e^y$ 를 곱해도 같으므로
$\displaystyle (e^y)^2-2xe^y+1=0$
이러면 근의 공식을 적용할 수 있다.
$\displaystyle e^y=x\pm\sqrt{x^2-1}$
근데
$\displaystyle y\ge0$ 이므로
$\displaystyle e^y\ge 1$ 이다. 따라서
$\displaystyle e^y=x+\sqrt{x^2-1}$
증명 2:
$\displaystyle x\ge1$ 에 대해
$\displaystyle \cosh^{-1}x=\ln(x+\sqrt{x^2-1})$ 임을 보여라.
Sol.
역함수의 정의로부터
$\displaystyle x=\cosh y=\frac{e^y+e^{-y}}2,\;y\ge0$
이고 양변에
$\displaystyle 2e^y$ 를 곱하면
$\displaystyle e^{2y}+1=2e^yx$
$\displaystyle e^{2y}-2e^yx+1=0$
을 얻는다.
$\displaystyle u=e^y(\ge1)$ 로 놓으면
$\displaystyle u$ 에 대한 이차식
$\displaystyle u^2-2xu+1=0$
을 얻고
$\displaystyle u\ge1$ 이므로 근의 공식에서
$\displaystyle u=x+\sqrt{x^2-1}(=e^y)$
임을 알 수 있다. 로그를 취하면
$\displaystyle y=\ln(x+\sqrt{x^2-1})$
을 얻는다.
}
$\displaystyle \tanh^{-1}x=\frac12\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$
$\displaystyle x\in(-1,1)$
증명{
$\displaystyle y=\tanh^{-1}x$
$\displaystyle x=\tanh y$
$\displaystyle =\frac{\sinh y}{\cosh y}$
$\displaystyle =\frac{e^y-e^{-y}}{e^y+e^{-y}}$
$\displaystyle =\frac{e^{2y}-1}{e^{2y}+1}$
$\displaystyle (e^{2y}+1)x=e^{2y}-1$
$\displaystyle xe^{2y}+x=e^{2y}-1$
$\displaystyle (x-1)e^{2y}=-1-x$
$\displaystyle e^{2y}=\frac{1+x}{1-x}$
$\displaystyle 2y=\ln\frac{1+x}{1-x}$
$\displaystyle y=\frac12\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\quad(-1\lt x\lt 1)$
}
$\displaystyle \coth^{-1}x=\frac12\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$
$\displaystyle x\in(-\infty,1)\cup(1,\infty)$
$\displaystyle \operatorname{sech}^{-1}x=\ln\left(\frac1{x}+\sqrt{\frac{1}{x^2}-1}\right)$
$\displaystyle x\in(0,1]$ i.e. $\displaystyle 0\lt x\le1$
$\displaystyle \operatorname{csch}^{-1}x=\ln\left(\frac1{x}+\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}\right)$
$\displaystyle x\in(-\infty,0)\cup(0,\infty)$ i.e. $\displaystyle x\ne 0$