최권휴_신호및선형시스템_2017


신호 및 선형시스템
영남대학교 최권휴
http://kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=1263807


1. 단어/용어의 주된 번역

response 응답 (반응 보다는)

2. 1. Intro to System

2.1. 선형시스템

임의의 입력 $f_1(t),f_2(t)$ 에 대한 시스템 X의 응답response(출력)이 각각 $y_1(t),y_2(t)$ 라 하자
$f_1(t)$─System X→$y_1(t)$
$f_2(t)$─System X→$y_2(t)$

아래 두 조건을 만족하면 "시스템 X는 선형적이다"라고 한다.
조건1$cf_1(t)$─System X→$cy_1(t)$
조건2$f_1(t)+f_2(t)$─System X→$y_1(t)+y_2(t)$
* $af_1(t)+bf_2(t)$─System X→$ay_1(t)+by_2(t)$
* : 두 조건을 결합하여 하나로 표현한 것
VG:선형성,linearity

입력이 n배이면 출력이 n배

2.2. 1.2 System의 분류 : 예제 1.1

다음 식이 선형임을 보여라
$\frac{dy}{dt}+3y(t)=f(t)$

sol. 입력 $f_1,f_2$ 에 대한 시스템 응답이 각각 $y_1,y_2$ 로 가정

$\frac{dy_1}{dt}+3y_1(t)=f_1(t),$
$\frac{dy_2}{dt}+3y_2(t)=f_2(t)$
두 미방에 각각 $k_1,k_2$ 곱한 후 좌변끼리 그리고 우변끼리 각각 더함
$k_1\frac{dy_1}{dt}+3k_1y_1(t)=k_1f_1(t),$
$k_2\frac{dy_2}{dt}+3k_2y_2(t)=k_2f_2(t)$

$k_1\frac{dy_1}{dt}+k_2\frac{dy_2}{dt}+3k_1y_1(t)+3k_2y_2(t)=k_1f_1(t)+k_2f_2(t)$
$\frac{d}{dt}\left[ \underbrace{k_1y_1(t)+k_2y_2(t)}_{y(t)} \right] + 3[ \underbrace{k_1y_1(t)+k_2y_2(t)}_{y(t)} ] = \underbrace{k_1f_1(t)+k_2f_2(t)}_{f(t)}$

그러므로
입력이 $k_1f_1(t)+k_2f_2(t)$ 일 때, 시스템
응답은 $k_1y_1(t)+k_2y_2(t)$
따라서 선형이다.

2.3. 1.2 System의 분류

2.4. 시변 vs 시불변

시변 time-variant (혹은 variant 대신 varying)
시불변 time-invariant
시불변 시스템 : 시스템의 parameter가 시간의 변화에 무관한 system

위 분류는, 신호가/출력이 시간에 따라 변하는 것을 얘기하는 게 아님!!
주어가 시스템임.
시스템이 시불변이다? => 시간 t1일 때 입력 A를 집어넣어 출력 B가 나왔다면, 시간이 지난 후인 시간 t2일 때 입력 A를 집어넣어도 똑같이 출력 B가 나온다.
출력이 일정하다, 상수이다 그런 얘기가 아님


정확히 15분 쯤에 비디오가 짤림. 그래서 강의녹음은 포기하고 슬라이드만 받아적음.

2.5. memoryless and memory

Instantaneous(memoryless) & dynamic(memory) system
memoryless : 입력이 인가되는 시간 t에서만 출력이 존재
memory : 과거 T 시간 동안의 입력에 의해 출력이 결정


먼저 영어사전에 의하면
cause /kɔːz/ n. 원인, 이유 v. 야기하다, 일으키다, 초래하다
causal / ˈkɔːzl/ adj. 인과 관계의

2.6. causal and non-causal

인과적(causal) & 비인과적(non-causal)
causal system : $t=t_0$ 에서의 출력은 단지 $t\le t_0$ 의 입력 $f(t)$ 에 의해서만 결정되는 system. 즉, 그 출력이 입력에 선행하지 않는다.
non-causal system : 그 외, 실현 불가
realizable :
other than time ex) space charge .......... 뭔소리? Naver:space.charge Google:space.charge이거?
real time이 아닌 경우 ex) 녹음신호
delay 사용 실현 가능
$y(t)=f(t-2)+f(t+2)$
↓ delay 사용
$y(t)=y(t-2)=f(t-4)+f(t)$

2.7. lumped-parameter and distributed-parameter

Lumped-parameter & Distributed-parameter
Lumped : 각 부품이 공간 내에서 한 덩어리라 생각함
Distributed : 그 외 ex) 안테나, 도파관 등

2.8. 연속시간 and 이산시간

연속시간(continous time) & 이산시간(discrete time) 시스템
연속시간 시스템 : 연속시간 신호를 입출력으로 하는 시스템
이산시간 시스템 : 이산 시간에서만 정의되는 이산 시간 신호를 입력, 출력으로 가지는 시스템
ex. clock이 들어가는 것들.

시간간격 일정하다고 가정
$t_{k+1}-t_k=T$

2.9. analog and digital

주의: analog=continuous, digital=discrete는 아님!! (관련은 있음)

Analog and Digital System

analog: 연속된 범위 내의 어떤 부분에서도 값을 가짐
digital: 유한개의 값에 대한
m-ary 신호 : m개의 값으로 진폭을 기술
binary 신호 : 두 개의 값으로 진폭을 기술

analog : continuous in time and amplitude
discrete : discrete in time and continuous in amplitude
digital : discrete in time and amplitude
내가 번역하면
analog : 시간 연속, 진폭 연속
discrete : 시간 이산, 진폭 연속
digital : 시간 이산, 진폭 이산
표로 만들면
in time in amplitude
아날로그 연속적 연속적
이산 이산적 연속적
디지털 이산적 이산적

3. 1. 시간영역 해석, 연속 시간 시스템 ... 단위 임펄스 함수

영입력 zero input
영상태 zero state


시스템 응답 = 영입력 응답 + 영상태 응답

영입력 응답 : 입력 $f(t)=0$ 일 때 시스템 내부상태에 의한 시스템 응답
영상태 응답 : 시스템이 영상태일 때의 외부입력 $f(t)$ 에 대한 응답
영상태 시스템은 $f(t)$ 가 없을 때에는 어떤 응답도 발생시키지 않음

3.1. 단위 임펄스 함수

TODO 나중에 VG를 링크. [http]임펄스 검색
.. 설명 보니 VG:디랙_델타함수,Dirac_delta_function랑 똑같은데?

$\delta(t)=\begin{cases}\infty & t=0 \\ 0 & t\ne 0\end{cases}$
$\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) dt = 1$

3.2. 임펄스와 임의함수의 곱 6:22

$f(t)\delta(t-T)=f(T)\delta(t-T)$
t-T는 T만큼 shift된.
δ(t-T)는 T만큼 shift된 impulse 함수.
t=T를 제외한 t들에서는 함수값이 0과 곱해지므로, 0이 되어버린다는 것을 기억.

https://i.imgur.com/eo72jmB.png


3.3. 임펄스와 임의함수의 곱의 적분

$\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t-T)dt$
$=\int_{-\infty}^{\infty}f(T)\delta(t-T)dt$
$=f(T)\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t-T)dt$
$=f(T)$

해석하면,
어떤 함수와 임펄스의 곱의 적분은 단위 임펄스가 위치하는 시점에서의 함수 값이다.

어떤 함수의 T지점을 샘플하기 위해서는 T지점에 위치하는 임펄스를 곱하여 적분한다.

4. 2. 임펄스 응답 과 컨볼루션 - 임펄스 응답, 컨볼루션 적분

2.3 임펄스 응답과 convolution

표기: 입력이 $x(t)$ 일 때 선형시스템의 출력을 $\ell[x(t)]$ 로 표기하자

임펄스 응답(impulse response)
정의 : 어떤 선형시스템에 임펄스 $\delta(t)$ 를 입력했을 때의 출력
표기 : $h(t)$
$\delta(t) \to \fbox{\textrm{linear system, }\ell[\cdot]} \to h(t)$
$h(t)=\ell[\delta(t)]$
(임펄스가 들어갔을 때의 출력)을 줄여서 (임펄스 응답)이라 하는 것임


그래서 기호를 정리하면,
$\ell$ : linear system operator
$\delta$ : impulse
$h$ : impulse response


일반적인 입력 $x(t)$ 에 대한 선형시스템의 출력

  • 먼저 다음과 같이 입력을 바꾸어 쓸 수 있다.
    $x(t)=\int\nolimits_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\delta(x-\tau)d\tau$
  • δ는 좌우대칭이므로 δ(t-τ)=δ(τ-t)

  • 시스템의 출력은 $y(t)=\ell[x(t)]$ 로 나타낼 수 있으므로 대입하며(여?)
    $y(t)=\ell[x(t)]$
    $=\ell\left[\int\nolimits_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\delta(t-\tau)d\tau\right]$
  • 위 적분식은 선형이므로 $\ell$ 이 ∫ 안에 들어갈 수 있음
    선형시스템 통과해서 적분한거랑, 적분해서 선형시스템 통과한거랑 같으니까
    $=\int\nolimits_{-\infty}^{\infty}\ell[x(\tau)\delta(t-\tau)]d\tau$
    $=\int\nolimits_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\ell[\delta(t-\tau)]d\tau$

위에서
$\ell[\delta(t-\tau)]$ 는 지연된 임펄스에 대한 시스템 출력이므로 시불변에 의해
$\ell[\delta(t-\tau)]=h(t-\tau)$ 임. 이를 대입하면
시스템 출력 $y(t)=\int\nolimits_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t-\tau) d\tau$

위의 적분을 $x(t)$$h(t)$ 의 convolution(적분)이라 부르며, 간단히 아래와 같이 연산자 *를 써 나타낸다.
$y(t)=x(t)*h(t)$

system을 통과한다는 것은, 그 system의 impulse response와 convolution한다는 것과 같은 얘기다. 수학적으로.

4.1. 콘벌루션 적분

ex)
$f_1(t)*f_2(t)=\int\nolimits_{-\infty}^{\infty} f_1(\tau) f_2(t-\tau) d\tau$

성질
1. 교환성 commutative
$f_1(t)*f_2(t)=f_2(t)*f_1(t)$
sol)
$=\int\nolimits_{-\infty}^{\infty}f_1(\tau)*f_2(t-\tau)d\tau$
$x=t-\tau,\;\; \tau=t-x,\;\; d\tau=-dx$
$=-\int\nolimits_{\infty}^{-\infty}f_2(x)f_1(t-x)dx$
$=\int\nolimits_{-\infty}^{\infty}f_2(x)f_1(t-x)dx$
$=f_2(t)*f_1(t)$

2. 분배성 distributive
$f_1(t)*[f_2(t)+f_3(t)]=f_1(t)*f_2(t)+f_1(t)*f_3(t)$

3. 결합성 associative
$f_1(t)*[f_2(t)*f_3(t)]=[f_1(t)*f_2(t)]*f_3(t)$

4. 추이성 (shift property)
$f_1(t)*f_2(t)=C(t)$ 일 때
$f_1(t)*f_2(t-T)=C(t-T)$
$f_1(t-T)*f_2(t)=C(t-T)$
$f_1(t-T_1)*f_2(t-T_2)=C(t-T_1-T_2)$
proof)
$f_1(t)*f_2(t)=\int\nolimits_{-\infty}^{\infty}f_1(\tau)f_2(t-\tau)d\tau=C(t)$
$f_1(t)*f_2(t-T)=\int\nolimits_{-\infty}^{\infty}f_1(\tau)f_2(t-T-\tau)d\tau =C(t-T)$

convolution operator는 시불변이다. time-invariant이다.

5. impulse와의 convolution
$f(t)*\delta(t)=\int\nolimits_{-\infty}^{\infty}f(\tau)\delta(t-\tau)d\tau=f(t)$

6. 폭(width)
$\left.\begin{matrix} f_1(t)\to T_1,\\ f_2(t)\to T_2\end{matrix}\right\rbrace f_1(t)\ast f_2(t)\to T_1+T_2$

VG:합성곱,convolution

5. 2. 컨볼루션 적분