arcsinh_x_적분_증명

정리

$\displaystyle \int\sinh^{-1} xdx=x\cdot\sinh^{-1}x-\sqrt{x^2+1}+C$

증명

부분적분을 이용하면 (see VG:부분적분,integration_by_parts)
$\displaystyle f(x)=\sinh^{-1}x$ $\displaystyle g'(x)=1$
$\displaystyle f'(x)=\frac1{\sqrt{x^2+1}}$ $\displaystyle g(x)=x$

주어진 식은
$\displaystyle x\cdot\sinh^{-1}x-\int\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}dx$
이렇게 되고, $\displaystyle \sqrt{x^2+1}=t$ 로 치환하면 $\displaystyle x^2+1=t^2,\;xdx=tdt$ 이므로, 우측에 있는 적분식은
$\displaystyle \int\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}dx=\int\frac{tdt}{t}=\int dt=t+C=\sqrt{x^2+1}+C$
이것을 위 주어진 식에 대입하면 된다.