Difference between r1.5 and the current

@@ -1,5 +1,5 @@

= 정리 =

$\int\sinh^{-1} x=x\cdot\sinh^{-1}x-\sqrt{x^2+1}+C$

$\int\sinh^{-1} xdx=x\cdot\sinh^{-1}x-\sqrt{x^2+1}+C$

= 증명 =
부분적분을 이용하면 (see [[VG:부분적분,integration_by_parts]])

정리 ¶

$\displaystyle \int\sinh^{-1} xdx=x\cdot\sinh^{-1}x-\sqrt{x^2+1}+C$

부분적분을 이용하면 (see

$\displaystyle f(x)=\sinh^{-1}x$	$\displaystyle g'(x)=1$
$\displaystyle f'(x)=\frac1{\sqrt{x^2+1}}$	$\displaystyle g(x)=x$

주어진 식은

$\displaystyle x\cdot\sinh^{-1}x-\int\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}dx$

이렇게 되고, $\displaystyle \sqrt{x^2+1}=t$ 로 치환하면 $\displaystyle x^2+1=t^2,\;xdx=tdt$ 이므로, 우측에 있는 적분식은

$\displaystyle \int\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}dx=\int\frac{tdt}{t}=\int dt=t+C=\sqrt{x^2+1}+C$

이것을 위 주어진 식에 대입하면 된다.