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극한과 무한소는 서로 양립할 수 없는 ... (미적분을 설명하기 위해 극한을 쓰면 무한소를 버려야 하고, 무한소를 쓰면 극한을 버려야 하는) 관계다.
비표준해석학을 더 설명하려면 [[model_theory]] =,model_theory . model_theory {
비표준해석학을 더 설명하려면 [[모형이론,model_theory]]까지 설명해야 하므로 생략한다.
https://en.wikipedia.org/wiki/Nonstandard_analysis
미분,derivative 표기 ¶
$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$
$\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)$
$\displaystyle n$ th derivative는, $\displaystyle \frac{d^ny}{dx^n}$
특정한 수 a에서의 미분의 값, 즉 $\displaystyle f'(a)$ 을 라이프니츠 식으로 표현하려면,
$\displaystyle \left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=a}$
See also 미분연산자,differentiation_operator
CHAIN RULE ¶
연쇄법칙,chain_rule - 연쇄법칙,chain_rule
연쇄규칙,chain_rule?
을 Leibniz notation으로 나타내면 좋은 점(? 암튼 적어도 암기에는 좋은 점)이 마치 분수의 약분처럼 나타난다는..
그러나 분수는 아님.
연쇄규칙,chain_rule?
을 Leibniz notation으로 나타내면 좋은 점(? 암튼 적어도 암기에는 좋은 점)이 마치 분수의 약분처럼 나타난다는..
$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$
또 역함수의 미분(역함수의_도함수(미분)_증명)도 역시$\displaystyle {dx \over dy}=\frac1{ dy \over dx }$
즉 이미 익숙한 분수,fraction처럼 다룰 수 있게 된다그러나 분수는 아님.
$\displaystyle dx$ 같은 무한소,infinitesimal를 공리,axiom로 받아들이는 초실수,hyperreal_number 체계,system(i.e. 비표준해석학,nonstandard_analysis)에서는 이게 엄밀하게 분수,fraction로 정의가 된다고. 그러나 표준 해석학,analysis에선 그렇지 않음.
via: https://youtu.be/K4rw5HqS7Kk?si=utAgi1V1yuFJZYRq (이상엽 - dy/dx는 분수일까 아닐까)
tmp 비표준해석학,nonstandard_analysis ¶
=비표준해석학,nonstandard_analysis =,nonstandard_analysis . (w)
via: 이상엽 - 무한소와 비표준 해석학 - https://youtu.be/0nk9totZdYM?si=HSGdvQ62W4TLJB2J
{
via: 이상엽 - 무한소와 비표준 해석학 - https://youtu.be/0nk9totZdYM?si=HSGdvQ62W4TLJB2J
{
무한소,infinitesimal는 '한없이 영,zero에 가까운, 무한히 작은 수'를 일컫는 직관적인 개념. 고전적으로 미적분,calculus을 설명하기 위해 쓰임. 구분구적법 처음 나왔을 때의 설명에 쓰임.
실수체(실수,real_number 체,field)에는 무한소가 존재하지 않으며, (실수의 조밀성 때문) $\displaystyle \epsilon-\delta$ 논법으로 정의된 극한,limit으로 미적분을 설명한다. (그래서 이전에 무한소를 써서 임시적으로? 엄밀하지 않게? 설명하던 문화가 사라지면서 무한소 개념이 '사라졌다' - 약 백년간 - 아후 초실수 등 비표준해석학이 나오기 전까지. - 이후 Robinson, Nelson등의 수학자가 다시 살려냄 Robinson Nelson infinitesimal - 무한소를 공리로 받아들임으로써. 무한소 공리 infinitesimal axiom)
무한소는
- 미적분을 설명하는 도구는 될 수 있어도
- 극한을 설명하는 도구는 될 수 없다.
비표준해석학을 더 설명하려면 모형이론,model_theory까지 설명해야 하므로 생략한다.
}