덕성여대 - 5. 고계도 선형미분방정식의 성질
$\displaystyle a_n(x)y^{(n)}(x)+\cdots+a_1(x)y'(x)+a_0(x)y(x)=f(x)$
- 일반적으로 잘 안 풀림 $\displaystyle (n\ge2)$
- 상수계수의 경우 거의 다 풀림
초기조건(initial condition, IC):
$\displaystyle y(x_0)=y_0,y'(x_0)=y_0',\cdots,y^{(n-1)}(x_0)=y_0^{(n-1)}$
정리:
- 위 식에서 $\displaystyle a_0(x),\cdots,a_n(x),f(x)$ 가 구간 $\displaystyle I$ 에서 연속이고, $\displaystyle a_n(x)$ 는 $\displaystyle I$ 에서 0의 값을 가지지 않는다고 가정. ( $\displaystyle a_n(x)$ never vanish on $\displaystyle I$ )
- $\displaystyle x_0\in I$
⇒ (위 식 + 위의 초기 조건)은 유일한 해를 가진다.
Boundary Value Problem 경계치 문제
- $\displaystyle y(a)=y_0,\; y(b)=y_1\; (a\ne b)$
- $\displaystyle y'(a)=y_0',\; y'(b)=y_1'$
: Neumann condition
- $\displaystyle y(a)=y_0,\;y'(b)=y_1'$
: Mixed condition
BVP는 해를 가지지 않을 수도, 하나만 가질 수도, 많이 가질 수도 있다.
예)
$\displaystyle y''+16y=0$
일반해:
$\displaystyle y=c_1\cos 4x+c_2\sin 4x,\;\; c_1,c_2\in\mathbb{R}$
BC:
$\displaystyle y(0)=0,\,y(\frac{\pi}2)=0$
$\displaystyle c_1=0,\,c_1=0$
이 BVP의 해:
$\displaystyle y=c_2\sin 4x$
1-parameter family를 이룬다.
BC:
$\displaystyle y(0)=0,\;y(\frac{\pi}2)=1$
$\displaystyle c_1\cdot 1+c_2\cdot 0=0$
$\displaystyle c_1\cdot 1+c_2\cdot 0=1$ so 불가능.
이 BVP의 해는 없다.
$\displaystyle a_n(x)y^{(n)}(x)+\cdots+a_1(x)y'(x)+a_0(x)y(x)=f(x)$ : inhomogeneous (N)
$\displaystyle a_n(x)y^{(n)}(x)+\cdots+a_1(x)y'(x)+a_0(x)y(x)=0$ : homogeneous (H)
정리. (homogeneous linear DE의 중첩원리)
$\displaystyle y_1,\cdots,y_k:$ (H)의 해들이라고 하자.
$\displaystyle \Rightarrow\;y=c_1y_1+\cdots+c_ky_k$ (즉 해들의 선형결합)은 모든 $\displaystyle c_1,\cdots,c_k\in\mathbb{R}$ 에 대하여 (H)의 해가 된다.
증명: y를 대입하면
$\displaystyle c_1\cdot 0+\cdots+c_k\cdot 0 = 0$ 이 됨.
y가 (H)의 해 => cy도 해가 됨
y1,y2가 (H)의 해 => y1+y2도 해가 됨
특히 0=0y가 (H)의 해 => 자명해(trivial solution)
예)
$\displaystyle x^3y'''-2xy'+4y=0$ : 선형 homogeneous eq.
알고 있는 해:
$\displaystyle y_1=x^2,y_2=x\ln x,y_3=x^2\ln x$
$\displaystyle \rightarrow c_1x^2+c_2x\ln x+c_3x^2\ln x$
사실 이게 해의 전부이다. (일반해라고 한다. general solution)
i.e.
$\displaystyle \{y_1,y_2,y_3\}$ 는 해집합의
기저,basis가 된다.
Def.
$\displaystyle f_1(x),f_2(x),\cdots,f_n(x):$ 구간
$\displaystyle I$ 에서 정의된 함수들
$\displaystyle \rightarrow f_1,\cdots,f_n$ 이 $\displaystyle I$ 에서 선형종속(linearly dependent, =일차종속)
$\displaystyle \Leftrightarrow$ (정의)
$\displaystyle \exists c_1,\cdots,c_n$ (0이 아닌 것이 적어도 하나는 있어야 한다)
such that $\displaystyle c_1f_1(x)+c_2f_2(x)+\cdots+c_nf_n(x)\equ 0$ ( $\displaystyle I$ 에서 )
예)
$\displaystyle f_1(x)=\sqrt{x}+5$
$\displaystyle f_2(x)=\sqrt{x}+5x$
$\displaystyle f_3(x)=x-1$
$\displaystyle f_4(x)=x^4$
이걸로 0을 만들 수 있을까?
$\displaystyle 1\cdot(\sqrt{x}+5)+(-1)\cdot(\sqrt{x}+5x)+5\cdot(x-1)+0\cdot x^4=0$
Yes. 선형종속.
즉 선형종속임을 확인하려면 적절히 집어넣어서 0이 되는지 보면 된다.
Def.
$\displaystyle f_1,\cdots,f_n$ : 구간 $\displaystyle I$ 에서 정의된 함수들
$\displaystyle f_1,\cdots,f_n$ : $\displaystyle I$ 에서 선형독립(linearly independent, =일차독립)
$\displaystyle \Leftrightarrow$ (정의)
$\displaystyle f_1,\cdots,f_n$ 이 $\displaystyle I$ 에서 선형종속이 아니다.
$\displaystyle \Leftrightarrow$
$\displaystyle \forall c_1,\cdots,c_n,$
$\displaystyle c_1f_1(x)+\cdots+c_nf_n(x)\not\equ 0$ ( $\displaystyle I$ 에서 )
$\displaystyle \Leftrightarrow$
$\displaystyle c_1f_1(x)+\cdots+c_nf_n(x)\equ 0 \;\Rightarrow\; c_1=c_2=\cdots=c_n=0$
예)
$\displaystyle f_x(x)=1,\quad f_2(x)=x,\quad f_3(x)=x^2$
$\displaystyle c_1\cdot 1+c_2\cdot x+c_3\cdot x^2\equ 0$ 으로 가정.
따라서 선형독립.
Wronskian : 일종의 판별식/행렬식?
론스키안, 론스키언, 론스키 행렬식, 브론스키 행렬식
$\displaystyle f_1,\cdots,f_n$ : 구간 $\displaystyle I$ 에서 정의된 함수들, n-1번 미분가능. 일 때
Wronskian (determinant) of $\displaystyle f_1,\cdots,f_n$ 은
$\displaystyle W(f_1,\cdots,f_n)(x):=\det\begin{bmatrix}f_1(x)&f_2(x)&\cdots&f_n(x)\\f_1'(x)&f_2'(x)&\cdots&f_n'(x)\\\vdots&\vdots&&\vdots\\f^{(n-1)}(x)&f^{(n-1)}_2(x)&\cdots&f^{(n-1)}_n(x)\end{bmatrix}$
정리:
만일 $\displaystyle W(f_1,\cdots,f_n)\not\equ 0$ 이면 $\displaystyle f_1,\cdots,f_n$ : 선형독립.
영상 6. n계선형 homogeneous 방정식의 fundamental set of solutions
n-th homogeneous 선형 미분방정식:
$\displaystyle a_n(x)y^{(n)}+\cdots+a_1(x)y'+a_0(x)y=0$ ........(H)
정리
$\displaystyle y_1,\cdots,y_n:$ 구간 $\displaystyle I$ 에서 (H)의 해들.
$\displaystyle y_1,\cdots,y_n:$ 선형독립
$\displaystyle \Leftrightarrow$
$\displaystyle W(x):=W(y_1,\cdots,y_n)(x)\not\equ 0$
del {
증명
$\displaystyle (\Leftarrow)$ 는 전시간(위의) 정리.
$\displaystyle (\Rightarrow)$ 의 증명.
가정: $\displaystyle y_1,\ldots,y_n$ 이 선형독립
보이고 싶은 것: $\displaystyle \forall x\in I,\,W(x)\ne 0$
어떤 $\displaystyle x_0\in I$ 에서 $\displaystyle W(x_0)=0$ 이었다고 가정하자.
$\displaystyle \det\begin{bmatrix}y_1(x_0)&y_2(x_0)&\cdots&y_n(x_0)\\y_1'(x_0)&y_2'(x_0)&\cdots&y_n'(x_0)\\\vdots& & &\vdots\\y_1^{(n-1)}(x_0)&y_2^{(n-1)}(x_0)&\cdots&y_n^{(n-1)}(x_0)\end{bmatrix}=W(x_0)=0$
$\displaystyle \Leftrightarrow$
$\displaystyle \begin{bmatrix}y_1(x_0)&y_2(x_0)&\cdots&y_n(x_0)\\y_1'(x_0)&y_2'(x_0)&\cdots&y_n'(x_0)\\\vdots& & &\vdots\\y_1^{(n-1)}(x_0)&y_2^{(n-1)}(x_0)&\cdots&y_n^{(n-1)}(x_0)\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c_1\\c_2\\ \vdots \\ c_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\ \vdots \\ 0\end{bmatrix}$
의 해 $\displaystyle (c_1,\cdots,c_n)$ 이 무수히 많다.
$\displaystyle \Leftrightarrow$
전부 0은 아닌 $\displaystyle c_1,\cdots,c_n$ 들이 존재해서 이 방정식의 해가 된다.
새로운 함수 $\displaystyle y_*(x):=c_1y_1(x)+\cdots+c_ny_n(x)$ 를 정의 ( $\displaystyle I$ 에서 )
그러면 (H)의 중첩원리에 의해 $\displaystyle y_*:$ (H)의 해
$\displaystyle y_*(x_0)=c_1y_1(x_0)+\cdots+c_ny_n(x_0)=0$
$\displaystyle y_*'(x_0)=c_1y_1'(x_0)+\cdots+c_ny_n'(x_0)=0$
$\displaystyle \vdots$
$\displaystyle y_*^{(n-1)}(x_0)=c_1y_1^{(n-1)}(x_0)+\cdots+c_ny_n^{(n-1)}(x_0)=0$
이하생략
아무튼 어쩌구저쩌구 해서 증명가능
}
정의 (Fundamental Set of Solutions) (F.S.S.)
(H)의 n개의 선형독립인 해 $\displaystyle y_1,\cdots,y_n$ :
(H)의 fundamental set of solutions라고 부른다.
정리 (Existence of F.S.S.)
증명:
$\displaystyle x_0\in I$ 를 잡자.
$\displaystyle y_1:$
초기치문제 $\displaystyle H(x)$
$\displaystyle y_1(x_0)=1,\,y_1'(x_0)=0,\,\cdots,\,y_1^{(n-1)}(x_0)=0$ 의 유일한 해.
$\displaystyle y_2:$
초기치문제 $\displaystyle H(x)$
$\displaystyle y_2(x_0)=0,\,y_2'(x_0)=1,\,y_2''(x_0)=0,\,\cdots,\,y_2^{(n-1)}(x_0)=0$ 의 해.
...
$\displaystyle y_n:$
초기치문제 $\displaystyle H(x)$
$\displaystyle y_1(x_0)=0,\,y_1'(x_0)=0,\,\cdots,\,y_1^{(n-1)}(x_0)=1$ 의 해.
$\displaystyle y_1,\cdots,y_n$ 이 선형독립이라는 것을 보이면 됨.
$\displaystyle W(x):=W(y_1,\cdots,y_n)(x)$ 라고 놓자.
$\displaystyle W(x_0)=\det\begin{pmatrix}y_1(x_0)&\cdots&y_n(x_0)\\\vdots&&\vdots\\y_1^{(n-1)}(x_0)&\cdots&y_n^{(n-1)}(x_0)\end{pmatrix}$
$\displaystyle =\det\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots\\0&1&0&&\\0&0&1&&\\\vdots&\vdots&&\\&&\cdots&1\end{pmatrix}$
$\displaystyle =1\ne0$
→
$\displaystyle y_1,\cdots,y_n$ : 선형독립
→
$\displaystyle y_1,\cdots,y_n$ : F.S.S.
dim((H)의 해집합) ≥ n
정리) Sufficiency of F.S.S.
$\displaystyle y_1,\cdots,y_n$ : FSS of (H) (I에서)
Y: I에서 (H)의 아무 해 하나라고 하자.
$\displaystyle \Rightarrow Y(x)=c_1y_1(x)+\cdots+c_ny_n(x),\quad \forall x\in I$
(어떤 $\displaystyle c_1,\cdots,c_n$ 에 대해)
증명)
(이건 안 적음)
동영상 덕성여대 inhomogeneous 선형방정식의 중첩원리와 일반해