논리학,logic

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[[논리결과,logical_consequence]]
[[논리게이트logic_gate]]
[[논리일관성,logical_consistency]]
[[논리그래프,logical_graph]] { http://oeis.org/wiki/Logical_Graphs ... Google:logical.graph }

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[[TableOfContents]]


P→Q의
converse Q→P
inverse ¬P→¬Q
contrapositive 대우 ¬Q→¬P

논리학은 추론,inference 또는 논증,argument을 탐구하는 학문.
→↔¬∧∨⊻⊤⊥⊢⊨≡𝔇⊗



임의의 적형식 A, B에 대해
{
¬A ≡ A→⊥
A↔B ≡ (A→B)∧(B→A)
A⊻B ≡ (A∨B)∧¬(A∧B)

A와 B는 논리적 동치(logically equivalent)이다 (A≡B)
=def
모든 가능한 진리조건적 해석에서 A와 B의 진리값이 같다.

A가 논리적 참(logical truth)이다, 혹은 A가 항진문장(tautology)이다
=def
모든 가능한 진리조건적 해석에서 A가 참이다.

}

후건부정 대우,contraposition?(A→B)↔(¬B→¬A)
조건문의 선언화(A→B)↔(¬A∨B)


진리값(truth value): 참(true)혹은 거짓(false)

진리값 전제와 결론이 지니는 특성
타당성과 건전성 논증이 지니는 특성

1. 언어

1.1. 메타언어 meta-language

메타언어의 기호

~가 도출된다

~가 ~의 의미론적 귀결이다

~와 ~가 동치이다
etc.

1.2. 대상언어 object-language

메타언어에 의해 설명되는 언어.
대상언어의 기호
¬⊥→∧∨↔ etc.

2. 문장/진술/명제

다음은 명확히 구별되지는 않는 듯
{
문장,sentence
특히 평서문(declarative sentence)
진술,statement
명제 proposition
{
수학 명제 mathematical statement
}

}


3. 문장 논리의 언어...

문장 논리의 언어(The language of sentential logic)
{
문장 기호(sentence symbols): A, B, C, ...
원자 문장(atomic sentences): P, Q, R, ...
논리연결사를 포함하지 않은 문장
논리 연결사(logical connectives): ∧∨→¬↔⊥, ...
보조 기호(auxiliary symbols): (, ).

∧: 그리고and
A∧B: 연언문conjunction
A, B: 연언지conjunct
∨: 또는or
A∨B: 선언문disjunction
A,B: 선언지disjunct
→: 만약 ...이면 ...이다
A→B: 조건문implication
A: 전건,antecedent, 앞말
B: 후건,consequent, succedent, 뒷말
¬: 아니다not
¬A: 부정문negation
↔: iff
A↔B: 쌍조건문bi-implication 혹은 동치문equivalence
⊥: 거짓falsum 혹은 모순absurdum
}

5. 양화사 quantifier


주어
술어

명제,proposition
{
AKA statement

한정명제: 전칭명제 + 존재명제
전칭명제: $\forall x, ..$
존재명제: $\exists x, ..$


긍정
부정
삼단논법

6. 참과 거짓

항상 참인 명제: tautology
항상 거짓인 명제: contradiction

둘 다 아닌 경우를 contingency라고 하기도 함

6.1. 항진~, tautology

항진식,tautology 항진문장,tautology - 표현이 너무 많아서 뭐라고 페이지 이름을 지어야 할 지 모르겠는데, {항진식 항진명제 항진문장 토톨러지 ...tautology에는 동어반복이라는 뜻도 있음}
{
항진문장: 모든 해석 아래에서 참인 문장.
항진식: 논리식이나 합성명제에서, 각 명제의 참·거짓의 모든 조합에 대하여 항상 참인 것.

기호 ⊤

반대 (항상 거짓인 것):
모순명제(contradictory)
논리적 거짓(항위문장)

임의의 적형식 A와 B에 대해,
A와 B가 논리적 동치이다
iff
A↔B가 논리적 참(혹은 항진문장)이다
iff
A와 B가 필요충분조건이다

어떤 항진 문장은 쌍조건문,biconditional의 형식이 아니다.
{
쌍조건문은 필요충분조건?
}

논리적 동치관계가 아닌 항진문장의 예들. 임의의 적형식 A, B에 대해,
명칭 항진 문장
배중률 A∨¬A
무모순률 ¬(A∧¬A)
후건부정
삼단논법
연언제거
연언제거
선언적 삼단논법

무모순성의 법칙 law of noncontradiction ~(A&~A)
배중 법칙 law of excluded middle AV~A
이중부정의 법칙 law of double negation ~(~A)->A
드모르간의 법칙 de Morgan's laws ~(AVB)<->
대우의 법칙 law of contraposition
긍정식 modus ponens
부정 논법 modus tollens
놀라운 결론 consequentia mirabilis
귀류법 reductio ad absurdum

References: 논리학 입문 (최승락) 강의자료
http://www.aistudy.com/logic/tautology.htm

}

6.2. 항상 거짓

기호 ⊥

8. 추론

추론,reasoning inference?
추론규칙,inference_rule
{
기존의 논리식으로부터 새로운 논리식을 생성하는 과정.



}

9. 증명

증명,proof
{
무위의 증명: P가 거짓이면, P → Q는 Q의 값에 관계없이 항상 참이다.


11. 조건 conditional, 함의 implication

조건문,conditional_statement 함의,implication
{
조건문 conditional if~then
쌍조건문 biconditional iff, if and only if

P→Q에서
P는 전건,antecedent, 가정hypothesis, 전제premise
Q는 후건,consequent, 결론conclusion, 결과consequence

조건문의 진리표
A B A→B
T T T
T F F
F T T
F F T

진리표를 작성해 보면, A→B는 ¬A∨B 와 같다.

조건문(→) 분해 규칙          쌍조건문(↔) 분해 규칙
    A→B                           A↔B
   /   \                          /  \
  ¬A   B                        A   ¬A
                                 B   ¬B 

조건문 p→q가 tautology일 때, p⇒q로 나타내며, 함의,implication라고 한다. (단 책에 따라 p→q를 implication으로 하기도 한다)

References:
논리학 입문 (최승락) 강의자료
https://sciphy.tistory.com/477
}


References:
논리학 입문 (최승락) 강의자료
http://www.aistudy.co.kr/

Twin: VG:논리,logic