미분방정식,differential_equation

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{
'''linear differential equation'''
미방이 $x,x',x'',x^{(3)},x^{(4)},\cdots$ 의 [[선형결합,linear_combination]]이면 즉 예를 들어
$a\ddot{x}+b\dot{x}+cx=0$
같은 꼴이면 '''선형미분방정식'''이라 한다.
}
--일계미방first-order_DE-- [[일계미분방정식,first-order_differential_equation]]
{

}
[[일계선형미방first-order_linear_DE]]
[[제차미방homogeneous_DE]]
[[일계선형미방first-order_linear_DE]] -> [[일계선형미분방정식,first-order_linear_differential_equation]]
[[이계미분방정식,second-order_differential_equation]]
{
 
// from ESA23 A16
 
아주 간단한 예로는 뉴턴의 second law of motion:
$\vec{F}=m\vec{a}=m\ddot{\vec{x}}$
for [[보존력,conservative_force]], $\vec{F}=-\nabla U(\vec{x})$
 
spring-mass system 즉 Hooke 법칙 $(\vec{F}=-k\vec{x})$ 을 가정하면 (힘을 같다고 놓으면)
$\vec{F}=-k\vec{x}=m\ddot{\vec{x}}$
$-kx=m\ddot{x}$
$m\ddot{x}+kx=0$
$\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0$
(그래서 아래와 같은 꼴이 됨)
 
2계 미방을 다음과 같이 가정한다. $\alpha$ 는 실수 parameter. 이건 homogeneous - 왜냐면 (x 또는 (x의 도함수))에 독립인, 순수하게 시간종속인(time-dependent) term이 0이기 때문.
$\ddot{x}+\alpha x=0$
일단 간단한 경우인 $\alpha=0$ 이라면 즉
$\ddot{x}=\frac{d^2 x}{dt^2}=0$
이면 적분을 두 번 하면 된다.
}
[[제차미방homogeneous_DE]] -> [[동차미분방정식,homogeneous_differential_equation]]
{
DE에서 $y=0$ 이 해이면 '''homogeneous DE'''임.
A differential equation is '''homogeneous''' if $y=0$ is a solution.
}
[[동차미분방정식,제차미분방정식,homogeneous_differential_equation]]
[[비제차미방nonhomogeneous_DE]]
[[비제차상미방nonhomogeneous_ODE]] 의 일반해는 $y=y_h+y_p$
[[초기조건,initial_condition]]
[[특수해,particular_solution]]
[[일반해,general_solution]]
[[매개변수변환,variation_of_parameters]]
[[미정계수법,method_of_undetermined_coefficients]]
[[특성방정식,characteristic_equation]]
[[보조방정식,auxiliary_equation]] => [[VG:보조방정식,auxiliary_equation]]
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[[비제차미방nonhomogeneous_DE]]
[[비제차상미방nonhomogeneous_ODE]] 의 일반해는 $y=y_h+y_p$
[[초기조건,initial_condition]]
[[특수해,particular_solution]]
[[일반해,general_solution]]
[[매개변수변환,variation_of_parameters]]
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[[LCCDE]] - [[linear_constant_coefficient_differential_equation]]
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[[최정환_미분방정식및연습_2013]]
[[최정환_미분방정식및연습_2013]]

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[[TableOfContents]]

= intro =
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iii)
$y'=f(u)=u+\frac{du}{dx}x$
$f(u)-u=\frac{du}{dx}x$
$\fbox{\frac{dx}{x}=\frac{du}{f(u)-u}}$ 이렇게 변수분리형으로 만들 수 있다.
$\frac{dx}{x}=\frac{du}{f(u)-u}$ 이렇게 변수분리형으로 만들 수 있다.

근데 마지막 두줄
$f(u)-u=\frac{du}{dx}x$




// from ESA23 A16

아주 간단한 예로는 뉴턴의 second law of motion:
$\displaystyle \vec{F}=m\vec{a}=m\ddot{\vec{x}}$
for 보존력,conservative_force, $\displaystyle \vec{F}=-\nabla U(\vec{x})$

spring-mass system 즉 Hooke 법칙 $\displaystyle (\vec{F}=-k\vec{x})$ 을 가정하면 (힘을 같다고 놓으면)
$\displaystyle \vec{F}=-k\vec{x}=m\ddot{\vec{x}}$
$\displaystyle -kx=m\ddot{x}$
$\displaystyle m\ddot{x}+kx=0$
$\displaystyle \ddot{x}+\frac{k}{m}x=0$
(그래서 아래와 같은 꼴이 됨)

2계 미방을 다음과 같이 가정한다. $\displaystyle \alpha$ 는 실수 parameter. 이건 homogeneous - 왜냐면 (x 또는 (x의 도함수))에 독립인, 순수하게 시간종속인(time-dependent) term이 0이기 때문.
$\displaystyle \ddot{x}+\alpha x=0$
일단 간단한 경우인 $\displaystyle \alpha=0$ 이라면 즉
$\displaystyle \ddot{x}=\frac{d^2 x}{dt^2}=0$
이면 적분을 두 번 하면 된다.
}
제차미방homogeneous_DE -> 동차미분방정식,homogeneous_differential_equation
{
DE에서 $\displaystyle y=0$ 이 해이면 homogeneous DE임.
A differential equation is homogeneous if $\displaystyle y=0$ is a solution.
}
동차미분방정식,제차미분방정식,homogeneous_differential_equation
비제차미방nonhomogeneous_DE
비제차상미방nonhomogeneous_ODE 의 일반해는 $\displaystyle y=y_h+y_p$
초기조건,initial_condition
특수해,particular_solution
일반해,general_solution
매개변수변환,variation_of_parameters
미정계수법,method_of_undetermined_coefficients
특성방정식,characteristic_equation
보조방정식,auxiliary_equation => VG:보조방정식,auxiliary_equation





1. intro

예를 들어,
$\displaystyle y=e^{0.1x^2}$
구간 $\displaystyle (-\infty,\infty)$ 에서 미분 가능하고, 그 미분,derivative
$\displaystyle \frac{dy}{dx}=0.2xe^{0.1x^2}$
이다. 따라서 이것을 미분방정식
$\displaystyle \frac{dy}{dx}=0.2xy$
로 쓸 수 있다.
(Zill)

$\displaystyle y''+y=0$ 의 해로는
$\displaystyle y=\sin x,y=\cos x$ 가 있다.

VG:단조화운동,simple_harmonic_motion,SHM 관련
$\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}+\omega^2x=0$
참고로 $\displaystyle \omega^2=\frac{k}m,\;\omega=\sqrt{\frac{k}m}$ 이다.
$\displaystyle x=\cos(\omega t)$
$\displaystyle \frac{dx}{dt}=-\omega\sin(\omega t)$
$\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}=-\omega^2\cos(\omega t)=-\omega^2x$
이걸 원래 미분방정식에 대입하면 성립함을 볼 수 있다.

뉴턴의 제 2법칙은
$\displaystyle F=ma$
이고 거리를 x로 하면
$\displaystyle F(x)=m\frac{d^2x}{dt^2}$
거리가 시간 t에 대한 함수임을 표시하면
$\displaystyle F(x(t))=m\frac{d^2x(t)}{dt^2}$
(wpko 상미분방정식)

상수 $\displaystyle a,k,C(k=\ln a)$ 가 있을 때,
지수함수 $\displaystyle y=Ca^x=Ce^{kx}(=Ce^{x\ln a})$ 의 도함수는
$\displaystyle y'=(\ln a)(Ca^x)=ky$ 즉 자신의 상수배가 된다.
이런 성질을 갖는 함수는 또 없다. (지수함수만 그렇다.)
다시말해 $\displaystyle y'=ky$ 이면 $\displaystyle y=Ce^{kx}$ 이다.

보이기:
$\displaystyle f'(x)=kf(x)$
라고 하자. (이하 ekx 로 양변을 나눈다. 어디서 온 아이디어?)
$\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{e^{kx}}=f(x)e^{-kx}$
라고 하면 (이하 x에 대해 미분한다)
$\displaystyle g'(x)=f'(x)e^{-kx}+f(x)(-ke^{-kx})$
$\displaystyle =(f'(x)-kf(x))e^{-kx}=0$
따라서
$\displaystyle g(x)=C$ 이고 다시 말해
$\displaystyle f(x)=Ce^{kx}$
이다.

(서울대기초수학학습교재 p173)

현재 물리physics에 1차원 등속운동, 등가속운동 공식을 기본적인 미방을 풀어서 유도하는 과정 있음.

2. Examples

떨어지는 물체
$\displaystyle y''=g$
자유낙하방정식
$\displaystyle \frac{d^2y}{dt^2}=g$

스프링(k)에 매달려 진동하는 (질량 m) 물체
(vibrating mass on a spring)
$\displaystyle my''+ky=0$
조화진동방정식
$\displaystyle m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx$

온도가 $\displaystyle y_0$ 인 물체를 온도가 A인 공간에 놓으면 시간 t에서 물체의 온도 $\displaystyle y=f(t)$ 는 뉴턴의 냉각법칙에 의해 다음으로 주어진다.
$\displaystyle y=f(t)=A+(y_0-A)e^{-kt},\quad\quad k>0$
이 때 y'을 y를 이용하여 나타내고, 이 식이 의미하는 바를 설명하라.

Sol. 지수미분법칙을 쓰면
$\displaystyle y'=-k(y_0-A)e^{-kt}=-k(y-A)$
물체의 온도가 공간의 온도보다 낮으면
$\displaystyle y'=-k(y-A)>0$
이므로 물체의 온도는 올라가고, 물체의 온도가 공간의 온도보다 높으면
$\displaystyle y'=-k(y-A)<0$
이므로 물체의 온도는 내려간다. 또한 물체의 온도의 변화율은 물체와 공간의 온도차이에 비례한다.

Contagion (전염, 전염병)

가정
  • N명의 집단
  • 감염속도(speed of infection)는 감염된 사람 수에 비례
  • 감염되지 않은 사람 수에도 비례
그럼 얼마나 빨리 병이 퍼지는가?

모델링
감염된 사람 수 $\displaystyle x(t)$
감염속도 $\displaystyle \frac{dx(t)}{dt}$
coefficient $\displaystyle k$

그러면 DE는
$\displaystyle x'=kx(N-x)$

풀면 DE의 해는
$\displaystyle x=x(t)=\frac{N}{1+(N-1)e^{kNt}}$
참고로 S자 curve를 그림

from [http]src 이민식 1강 18m

3. 분류


상미방 ODE
편미방 PDE
(독립변수의 수에 따라)

계수 order 에 따라
1계 first-order
2계 second-order
higher-order

차수 degree

선형 linear
비선형 nonlinear
(VG:선형성,linearity에 따라. VG:중첩원리,superposition_principle 도 관련)
{
DE가 선형이라는 것은, 독립변수의 선형 함수임을 뜻함
$\displaystyle f(x,y,y',\cdots)=$
종속변수끼리 곱해지는 일은 없음


[http]src 29:30
}

제차 homogeneous
비제차 inhomogeneous

등의 여부에 따라 분류하고,
문제도 분류하는데.. 이런 것들이 있다.

IVP initial value problem 초기치문제 (한 점에서의 값이 주어질 경우)
BVP boundary value problem 경계치문제 (둘 이상의 점에서의 값이 주어질 경우)

경계값문제BVP 경계값 문제, boundary value problem, BVP
초기값문제IVP 초기값문제, initial value problem, IVP
IVP(initial value problem) : 조건이 하나 (initial condition)
BVP(boundary value problem) : 조건이 둘 이상


3.1. 표현방식

양함수 형(explicit form)
독립변수와 종속변수가 분리된 형태
음함수 형(implicit form)
독립변수와 종속변수가 분리되지 않는 형태

4. 미분방정식의 해

$\displaystyle y=f(x)$ 를 미분방정식에 대입했을 때, 그 방정식을 항등적으로 만족한다면, 이 함수 $\displaystyle f(x)$라고 하며, 해를 구하는 것을 그 방정식을 푼다고 한다.

ex.
$\displaystyle y'=x$ 의 해는 $\displaystyle y=\frac12x^2+C$
검증: 양변 미분하면 $\displaystyle y'=x$

$\displaystyle y'=e^x$ 의 해는 $\displaystyle y=e^x+C$
검증: 양변 미분하면 $\displaystyle y'=e^x$

4.1. 해의 분류

일반해(general solution)
특수해(particular solution)
특이해(singular solution)
자명해(trivial solution)
비자명해(nontrivial solution)

4.2. 일반해

n계 미방에 대한 n개의 임의의 상수를 포함하는 해가 존재할 때, 해를 그 방정식의 일반해라 한다.
1계
$\displaystyle y'=x\Rightarrow y=\frac12x^2+C_1$
2계
$\displaystyle y''=x\Rightarrow y'=\frac12x^2+C_1$
$\displaystyle \Rightarrow y=\frac16x^3+C_1x+C_2$

4.3. 특수해

일반해의 임의의 상수에 어떤 특정 값을 넣어서 얻은 해

4.4. 특이해

미방의 해 중에서 일반해의 임의의 상수에 어떠한 값을 넣어도 얻어질 수 없는 해, 즉 일반해도 특수해도 아닌 해

$\displaystyle \left(\frac{dy}{dx}\right)^2-x\left(\frac{dy}{dx}\right)+y=0$

일반해
$\displaystyle y=c_1x-c_2$
특이해
$\displaystyle y=\frac14x^2$

4.5. 자명해

항등적으로 0이 나오는 해

$\displaystyle y''-2y'+y=0$

$\displaystyle y=0$

5. 일계선형미방

A first-order diff. eq. is linear if it has the form
$\displaystyle y'+p(x)y=q(x)$ ...........(1)
for some functions p and q.

일반적 접근법(general approach to solving)
Let
$\displaystyle g(x)=e^{\int p(x)dx}$
and notice that
$\displaystyle g'(x)=p(x)e^{\int p(x)dx}=p(x)g(x)$ ..............(2)

다음 원래 식(1)에 $\displaystyle g(x)$ 를 곱하여
$\displaystyle g(x)y'+p(x)g(x)y=q(x)g(x)$
여기에 (2)를 적용하면, (가운데 $\displaystyle p(x)g(x)$ 에)
$\displaystyle g(x)y'+g'(x)y=q(x)g(x)$
좌변이 곱의 미분 꼴.
$\displaystyle \frac{d}{dx}(g(x)y)=q(x)g(x)$
양변을 적분하면,
$\displaystyle g(x)y=\int q(x)g(x)dx+c$

$\displaystyle g(x)\ne0$ 이면 y에 대해 풀 수 있다.
$\displaystyle y(x)=\frac1{g(x)}\int q(x)g(x)dx+\frac{c}{g(x)}$


요약. $\displaystyle y'+p(x)y=q(x)$ 꼴이면, 먼저
$\displaystyle e^{\int p(x)dx}$
를 계산한다. 이것을 선형(미분)방정식의 적분인자,integrating_factor라 한다.
다음, 미방(DE)를 적분인자(IF)로 곱한다.
다음, 좌변이 곱의 미분꼴로 된 것을 해결한다. 우변은 그냥 x에 대한 함수이다.
다음, y에 대해 풀어 일반해(general solution)를 얻는다.

(from O'Neil 7e 1.2)

1계 선형 미분방정식의 적분인자법
method of integrating factor in first order linear differential equation
https://freshrimpsushi.github.io/posts/method-of-integrating-factor-in-first-order-linear-differential-equation/
(from Boyce 11e)

6. 적분인자로 풀 수 있는 1계 (ess. eng. math)

다음 꼴은
$\displaystyle \frac{dy}{dx}+f(x)y=g(x)$
적분인자,integrating_factor (IF)
$\displaystyle I(x)=e^{\int f(x)dx}$
를 사용한다.

Steps
1. 적분인자를 계산
2. 미방을 적분인자로 곱함
3. 왼쪽은 $\displaystyle \frac{d}{dx}(I(x)y(x))$ 꼴이 될거임
4. Rearrange to get $\displaystyle y(x)=\frac1{I(x)}\int g(x)I(x)dx$ and integrate

이것은 $\displaystyle f(x),g(x)I(x)$ 를 적분하는 것에 의존한다. 따라서 언제나 가능하지는 않다.

Ex. Solve
$\displaystyle \frac{dy}{dx}+y=e^x$
Sol.
$\displaystyle f(x)=1,g(x)=x$
integ. factor is
$\displaystyle e^{\int 1dx}=e^x$
DE에 IF를 곱하면
$\displaystyle e^x\frac{dy}{dx}+ye^x=e^{2x}$
$\displaystyle \frac{d}{dy}(ye^x)=e^{2x}$
$\displaystyle ye^x=\int e^{2x}dx$
$\displaystyle ye^x=\frac12e^{2x}+c$
$\displaystyle y=e^{-x}\left(\frac12e^{2x}+c\right)$
$\displaystyle y=\frac12e^x+ce^{-x}$

7. 1계 Separable DE (ess. eng. math)

form:
$\displaystyle \frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$

Ex. $\displaystyle \frac{dy}{dx}=xy$
$\displaystyle \int\frac{dy}{y}=\int xdx$
$\displaystyle \ln y=\frac{x^2}2+c$
$\displaystyle y=e^ce^{\frac{x^2}{2}}=Ke^{\frac{x^2}{2}}$

8. 2계 선형 with 상수 계수: The Homogeneous Case (ess. eng. math)

$\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}+a\frac{dy}{dx}+by=0$

이차방정식과 비교 가능.
먼저 characteristic_equation (CE) 을 만든다.
$\displaystyle p^2+ap+b=0$
세 경우가 있다.

1. 실근 $\displaystyle p_1$ and $\displaystyle p_2$
특수해(particular solution)들은
$\displaystyle y_1(x)=e^{p_1x}$
$\displaystyle y_2(x)=e^{p_2x}$
and the general solution is
$\displaystyle Ay_1(x)+By_2(x)=Ae^{p_1x}+Be^{p_2x}$

2. 한 실근 $\displaystyle p$
특수해들은
$\displaystyle y_1(x)=e^{px}$
$\displaystyle y_2(x)=pe^{px}$
and the general sol. is
$\displaystyle Ay_1(x)+By_2(x)=Ae^{px}+Bpe^{px}$

3. 복소근들 $\displaystyle r\pm is$
특수해들은
$\displaystyle y_1(x)=e^{rx}\cos(sx)$
$\displaystyle y_2(x)=e^{rx}\sin(sx)$
general sol. is
$\displaystyle Ay_1(x)+By_2(x)=Ae^{rx}\cos(sx)+Be^{rx}\sin(sx)=e^{rx}(A\cos(sx)+B\sin(sx))$

Ex.
$\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}+\frac{dy}{dx}-2y=0$
CE는
$\displaystyle p^2+p-2=0$
이것의 해는 $\displaystyle p=-2,1$
so the DE's general sol. is
$\displaystyle y(x)=Ae^{-2x}+Be^x$

Ex.
$\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}+6\frac{dy}{dx}+9=0$
CE is
$\displaystyle (p+3)^2=0$
이것은 중근 $\displaystyle p=-3$ 을 가짐
그리하여 DE의 general sol.은
$\displaystyle y(x)=Ae^{-3x}+Bxe^{-3x}$

Ex.
$\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}+4y=0$ (undamped simple harmonic motion)
CE는
$\displaystyle p^2+4=0$
근은 $\displaystyle p=\pm 2i$
so the DE has the general sol.
$\displaystyle y(x)=A\cos 2x+B\sin 2x$

Ex.
$\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}+2\frac{dy}{dx}+2=0$ (damped simple harmonic motion)
CE is
$\displaystyle p^2+2p+2=0$
which has complex roots $\displaystyle -1+i,-1-i$
so the general sol. is
$\displaystyle y(x)=e^{-x}(A\cos x+B\sin x)$

9. 2계 선형 with 상수 계수: The Inhomogeneous Case (ess. eng. math)

$\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}+a\frac{dy}{dx}+by=f(x)$

TBW

10. 변수분리법, 변수분리형, separable

$\displaystyle f(x)+g(y)\frac{dy}{dx}=0$
$\displaystyle f(x)dx+g(y)dy=0$
$\displaystyle f(x)dx=-g(y)dy$

ex.
$\displaystyle y'=ky$
$\displaystyle \frac{dy}{dx}=ky$
$\displaystyle dy=kydx$
$\displaystyle \int\frac1{y}dy=\int kdx$
$\displaystyle \ln|y|=kx+c_1$
$\displaystyle y=e^{kx+c_1}=e^{c_1}e^{kx}$
$\displaystyle y=c_2e^{kx}$

ex.
$\displaystyle y'=-\frac{y}{x},\quad \frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x}$
$\displaystyle \frac{dy}{y}=-\frac{dx}{x}$
$\displaystyle \ln|y|=-\ln|x|+c_1$
$\displaystyle \ln|y|=\ln\frac1{|x|}+c_1$
$\displaystyle e^{\ln|y|}=e^{\ln\frac1{|x|}+c_1}$
$\displaystyle e^{\ln|y|}=e^{c_1}\cdot e^{\ln\frac1{|x}}}$
$\displaystyle y=\frac{c_2}{x}$

참고:
$\displaystyle a^{\log_a b}=b$
인 이유는,
$\displaystyle a^{\log_a b}=t$ 라고 놓으면
$\displaystyle \log_a b=\log_a t$
$\displaystyle t=b$

ex.
$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{2x}{x^2+1}$
$\displaystyle dy=\frac{2x}{x^2+1}dx$
$\displaystyle x^2+1=t,\;2xdx=dt,\;dx=\frac{dt}{2x}$
$\displaystyle \int dy=\int\frac1{t}dt$
$\displaystyle y=\ln|t|+c_1$
$\displaystyle =\ln|x^2+1|+c_1$ 여기서 $\displaystyle x^2+1>0$ 이므로,
$\displaystyle =\ln(x^2+1)+c_1$

ex.
$\displaystyle \frac{dy}{dx}+2y=1$
...try...
$\displaystyle \frac{dy}{dx}=1-2y$
$\displaystyle \frac{1}{dx}=\frac{1-2y}{dy}$
$\displaystyle dx=\frac{dy}{1-2y}$
...fail... 답:
$\displaystyle \frac{dy}{dx}=1-2y$
$\displaystyle \frac{dy}{2y-1}=-dx$
$\displaystyle \int\frac1{2y-1}dy=-\int dx$
$\displaystyle 2y-1=t,\;2dy=dt,\;dy=\frac12dt$
$\displaystyle \int\frac1{t}\cdot\frac12dt=-x+C_1$
$\displaystyle \frac12\ln|t|=-x+C_1$
$\displaystyle \ln|t|=-2x+C_2$
$\displaystyle t=e^{-2x+C_2}=C_3e^{-2x}$
$\displaystyle 2y-1=C_3e^{-2x}$
$\displaystyle y=C_4e^{-2x}+\frac12$

ex.
$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac1{x(x-1)}$
$\displaystyle \frac1{x(x-1)}=\frac1{(x-1)-x}\times\left(\frac1{x}-\frac1{x-1}\right)$
$\displaystyle =\frac1{x-1}-\frac1{x}$ (부분분수분해)
$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac1{x-1}-\frac1{x}$
$\displaystyle dy=\left(\frac1{x-1}-\frac1{x}\right)dx$
$\displaystyle y=\ln|x-1|-\ln|x|+c_1$
$\displaystyle y=\ln|\frac{x-1}{x}|+c_1$

ex.
$\displaystyle (x^2-1)y'=1$
sol.
$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac1{(x+1)(x-1)}$
$\displaystyle dy=\frac1{(x+1)-(x-1)}\left[\frac1{x-1}-\frac1{x+1}\right]dx$
$\displaystyle dy=\frac12\left(\frac1{x-1}-\frac1{x+1}\right)dx$
$\displaystyle y=\frac12\left(\ln|x-1|-\ln|x+1|\right)+C_1$
$\displaystyle =\frac12\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C_1$

ex.
$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac1{\sqrt{x+1}}$
$\displaystyle y=2\sqrt{x+1}+c_1$

11. 변수분리의 확장

$\displaystyle y'=f\left(\frac{y}{x}\right)$ 이게 풀기 힘들때
$\displaystyle =f(u)$ 라고 치환해서 푸는 방법 설명인가?
i) $\displaystyle \frac{y}{x}$$\displaystyle u$ 로 치환한다.
$\displaystyle u=\frac{y}{x},\quad y=xu$
ii)
$\displaystyle \frac{dy}{dx}=u+\frac{du}{dx}x$
iii)
$\displaystyle y'=f(u)=u+\frac{du}{dx}x$
$\displaystyle f(u)-u=\frac{du}{dx}x$
$\displaystyle \frac{dx}{x}=\frac{du}{f(u)-u}$ 이렇게 변수분리형으로 만들 수 있다.

근데 마지막 두줄
$\displaystyle f(u)-u=\frac{du}{dx}x$
$\displaystyle \frac{dx}{x}=\frac{du}{f(u)-u}$
이 스텝을 빠르게 하는 방법을 모르겠는데, 다시 써보면
$\displaystyle f(u)-u=\frac{xdu}{dx}$
이걸 $\displaystyle du$ 로 나누면
$\displaystyle \frac{f(u)-u}{du}=\frac{x}{dx}$
그다음 분자분모 바꾸기?
아니면 du/dx에 대해 정리해서
$\displaystyle \frac{du}{dx}=\frac{f(u)-u}{x}$
$\displaystyle \frac{du}{f(u)-u}=\frac{dx}{x}$
이렇게 한건가?

ex.
$\displaystyle y'=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{y}{x}+\frac{x}{y}$
sol.
i)
$\displaystyle u=\frac{y}{x} \Rightarrow \frac{dy}{dx}=u+\frac1{u}$
ii)
$\displaystyle y=ux \Rightarrow \frac{dy}{dx}=u+\frac{du}{dx}x$
iii)
$\displaystyle u+\frac1{u}=x\cdot\frac{du}{dx}+u$
양변에서 u를 뺌
$\displaystyle \frac{du}{dx}=\frac1{xu}$
변수분리
$\displaystyle udu=\frac{dx}{x}$
적분
$\displaystyle \frac12u^2=\ln|x|+c_1$
$\displaystyle u^2=2\ln|x|+c_2$
치환했던 것을 복구
$\displaystyle \frac{y^2}{x^2}=2\ln|x|+c_2$
$\displaystyle y^2=2x^2\ln|x|+c_2x^2$

ex.
$\displaystyle 2xyy'=y^2-x^2$
$\displaystyle y'=\frac12\frac{y}{x}-\frac12\frac{x}{y}$
i) 치환
$\displaystyle u=\frac{y}{x}\Rightarrow y'=\frac12u-\frac1{2u}$
ii)
$\displaystyle y=xu\Rightarrow y'=x\cdot\frac{du}{dx}+u$
iii) i)과 ii) 식을 합치면
$\displaystyle \frac{u}{2}-\frac1{2u}=x\cdot\frac{du}{dx}+u$
$\displaystyle x\frac{du}{dx}=-\frac{u}{2}-\frac1{2u}=-\frac{u^2+1}{2u}$
$\displaystyle \frac{2u}{u^2+1}du=-\frac1{x}dx$
$\displaystyle u^2+1=t$ 로 치환하면 $\displaystyle 2udu=dt,\; du=\frac{dt}{2u}$
$\displaystyle \frac1{t}dt=-\frac1{x}dx$
$\displaystyle \ln|t|=-\ln|x|+c_1$
$\displaystyle =\ln\frac1{|x|}+\ln c_2$
$\displaystyle =\ln\frac{c_2}{|x|}$
therefore,
$\displaystyle t=\frac{c_2}{x}\Rightarrow u^2+1=\frac{c_2}{x}$ (t는 이렇게 나왔으므로, 위의 ..=t치환을 다시 상기)
$\displaystyle (\frac{y}{x})^2+1=\frac{c_2}{x}$
$\displaystyle y^2+x^2=c_2x$
$\displaystyle y^2+\left(x-\frac{c_2}{2}\right)^2=\left(\frac{c_2}{2}\right)^2$
이런 원의 방정식이 나옴

ex.
$\displaystyle xy^2y'=x^3+y^3$
sol. 양변을 $\displaystyle x^3$ 으로 나누면
$\displaystyle (\frac{y}{x})^2+y'=1+(\frac{y}{x})^3$
i)
$\displaystyle u=\frac{y}{x}\Rightarrow u^2+y'=1+u^3$
ii)
$\displaystyle y=xu \Rightarrow y'=x\frac{du}{dx}+u$
$\displaystyle u^2\cdot(x\frac{du}{dx}+u)=1+u^3$
$\displaystyle xu^2\frac{du}{dx}=1$
$\displaystyle u^2du=\frac1{x}dx$
$\displaystyle \frac13u^3=\ln|x|+c_1$
$\displaystyle u^3=3\ln|x|+c_2$
$\displaystyle y^3=x^2\cdot(3\ln|x|+c_2)$

12. 초기치문제 IVP


ex.
$\displaystyle y'=2x+3,\;y(1)=2$
sol.
$\displaystyle y=x^2+3x+c_1$ .........일반해
$\displaystyle c_1=-2$
$\displaystyle y=x^2+3x-2$ .........특수해

ex.
$\displaystyle y'=3y,\;y(0)=5$
$\displaystyle \frac{dy}{dx}=3y$
$\displaystyle \frac1{y}dy=3dx$
$\displaystyle \ln|y|=3x+C$
$\displaystyle y=C_2e^{3x}$ ........일반해
$\displaystyle 5=C_2\times1,\;C_2=5$
$\displaystyle y=5e^{3x}$ ........특수해

13. 완전미방형 exact DE

(http://kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=1215229 5강: 완전 미분방정식 개념) 참조하여 작성됨.

이변수함수 $\displaystyle u=f(x,y)$ 가 있으면
x, y: 독립변수
u: 종속변수
u가 x에 관해 미분가능할 때, 극한값:
$\displaystyle \lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}=\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial x},u_x,f_x$
u가 y에 관해 미분가능할 때, 극한값:
$\displaystyle \lim_{\Delta y\to0}\frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}=\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial y},u_y,f_y$

$\displaystyle u=f(x,y)$ 의 편도함수 $\displaystyle f_{xy}(x,y),\,f_{yx}(x,y)$ 가 점 (a,b)에서 연속이면
$\displaystyle f_{xy}(a,b)=f_{yx}(a,b)$
$\displaystyle f_{xy}=\frac{\partial f}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}$
$\displaystyle f_{yx}=\frac{\partial f}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)=\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}$

exact DE를 풀기 위해선 전미분 개념을 먼저 알아야.

전미분,total_differential 페이지가 있었고
전미분,total_derivative 페이지로 내용 옮김. 차이가 뭐지?

완전 미분 방정식

$\displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy$ 가 어떤 함수 $\displaystyle f(x,y)$ 의 전미분과 같으면, 즉
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=M(x,y),\;\frac{\partial f}{\partial y}=N(x,y)$ 이면

$\displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy$ : 완전하다(exact)
$\displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ : 완전미분방정식

$\displaystyle df=M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$
⇒ solution $\displaystyle f(x,y)={\rm const.}$

14. 완전미분방정식의 판별법


$\displaystyle M(x,y),\;N(x,y)$ 의 1계 편도함수가 연속일 때,
$\displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ 이면 완전미분방정식.
$\displaystyle \Leftrightarrow \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$ 필요충분조건

$\displaystyle \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right),\quad \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)$

15. 완전미방의 풀이법


$\displaystyle u=f(x,y)$ 가 연속 ⇒
$\displaystyle \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)$

$\displaystyle df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy=0$
$\displaystyle \Rightarrow f={\rm constant}$

$\displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$

1)
$\displaystyle \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$ 만족하면 완전미방
$\displaystyle M=\frac{\partial f}{\partial x},\;N=\frac{\partial f}{\partial y}$
$\displaystyle f$ 를 찾자.

2)
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=M$
$\displaystyle f(x,y)=\int Mdx+k(y)=c_1$ ......①

3)
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=N$
from (1),
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left[\int M(x,y)dx\right]+\frac{d}{dy}k(y)=N(x,y)$
참고로 k는 y만에 대한 함수라서 편미분을 할 필요가 없고 그냥 미분으로 표기? CHK
$\displaystyle \frac{d}{dy}k(y)=N(x,y)-\frac{\partial}{\partial y}\left[\int M(x,y)dx\right]+c_2$ ......② (여기서 $\displaystyle c_2$ 는 필요없음)

4)
②를 ①에 대입

16. 완전미방 예제


ex.
$\displaystyle xdy+ydx=x$
이건 변수분리로 풀린다.
하지만 완전미방 해법으로 푼다.
$\displaystyle (y-1)dx+xdy=0$
$\displaystyle M=\frac{\partial f}{\partial x}=y-1\quad\Rightarrow \frac{\partial M}{\partial y}=1$
$\displaystyle N=\frac{\partial f}{\partial y}=x \quad\Rightarrow \frac{\partial N}{\partial x}=1$

1)
$\displaystyle \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}=1$ (완전미방)
2)
$\displaystyle M=y-1=\frac{\partial f}{\partial x}$
$\displaystyle f=\int(y-1)dx+k(y)=c_1$
$\displaystyle =xy-x+k(y)=c_1$ ..............(1)
이제 k를 찾는다.
3)
$\displaystyle N=\frac{\partial f}{\partial y}=x$
from (1),
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=x+k'(y)=x$
$\displaystyle x$ 는 바로 위 3) 에서 나온 것이고, $\displaystyle x+k'(y)$ 는 (1)에서 나온 것이다.
$\displaystyle k'(y)=0\;\Rightarrow\;k(y)=c_2$
4)
$\displaystyle f=xy-x+c_2=c_1$
$\displaystyle xy-x=c_3\quad\quad\qed$

ex.
$\displaystyle 2xydx+(x^2-1)dy=0$
sol.
$\displaystyle M=\frac{\partial f}{\partial x}=2xy \quad\quad\Rightarrow \frac{\partial M}{\partial y}=2x$
$\displaystyle N=\frac{\partial f}{\partial y}=x^2-1\quad\quad\Rightarrow \frac{\partial N}{\partial x}=2x$
i)
$\displaystyle \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$
ii)
$\displaystyle M=\frac{\partial f}{\partial x}=2xy$
$\displaystyle f=\int 2xydx+k(y)=c_1$
$\displaystyle f=x^2y+k(y)=c_1$ ..........(1)
iii)
$\displaystyle N=\frac{\partial f}{\partial y}=x^2-1$
from (1),
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=x^2+k'(y)$ i.e.
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=x^2+\frac{d}{dy}k(y)=x^2-1$
therefore
$\displaystyle k'(y)=-1 \;\;\Rightarrow k(y)=-y+c_2$ ..............(2)
iv) (1)과 (2)를 합치면,
$\displaystyle f=x^2y-y=c_3$
$\displaystyle x^2y-y=c_3 \;\; \qed$

ex. (이건 변수분리가 되지 않는다)
$\displaystyle (3y-2x)dy=2ydx$
dx가 앞으로 오는게 보기 좋으므로(??)
$\displaystyle 2ydx+(2x-3y)dy=0$
$\displaystyle M=\frac{\partial f}{\partial x}=2y\Rightarrow\frac{\partial M}{\partial y}=2$
$\displaystyle N=\frac{\partial f}{\partial y}=2x-3y\Rightarrow\frac{\partial N}{\partial x}=2$
1)
$\displaystyle \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$
이렇게 완미방인걸 체크했다.
2)
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=2y$
$\displaystyle f=2xy+k(y)=c_1$ ..........(1)
3)
$\displaystyle N=\frac{\partial f}{\partial y}=2x-3y$
from (1),
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=2x+k'(y)=2x-3y$
$\displaystyle k'(y)=-3y$
$\displaystyle k(y)=-\frac32y^2+c_2$ ............(2)
4)
$\displaystyle 2xy-\frac32y^2=c_3$

ex.
$\displaystyle (4x-3y+1)+(5y-3x-5)y'=0$
$\displaystyle (4x-3y+1)dx+(5y-3x-5)dy=0$
$\displaystyle M=\frac{\partial f}{\partial x}=4x-3y+1\Rightarrow \frac{\partial M}{\partial y}=-3$
$\displaystyle N=\frac{\partial f}{\partial y}=5y-3x-5\Rightarrow \frac{\partial N}{\partial x}=-3$
1)
$\displaystyle \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$
2)
$\displaystyle M=\frac{\partial f}{\partial x}=4x-3y+1$
$\displaystyle f=\int(4x-3y+1)dx+k(y)=c_1$
$\displaystyle f=2x^2-3xy+x+k(y)=c_1$ .........(1)
3)
$\displaystyle N=\frac{\partial f}{\partial y}=5y-3x-5$
from (1),
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=-3x+k'(y)=5y-3x-5$
$\displaystyle k'(y)=5y-5$
$\displaystyle k(y)=\int(5y-5)dy$
$\displaystyle k(y)=\frac52y^2-5y+c_2$ ..........(2)
4)
$\displaystyle 2x^2-3xy+x+\frac52y^2-5y=c_3$

ex.
$\displaystyle \cos(x+y)dx+(3y^2+2y+\cos(x+y))dy=0$
sol.
$\displaystyle M=\frac{\partial f}{\partial x}=\cos(x+y)\rightarrow \frac{\partial M}{\partial y}=-\sin(x+y)$
$\displaystyle N=\frac{\partial f}{\partial y}=3y^2+2y+\cos(x+y)\rightarrow \frac{\partial N}{\partial x}=-\sin(x+y)$
1)
$\displaystyle \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$ 임을 확인하였음.
2)
$\displaystyle M=\frac{\partial f}{\partial x}=$ (?)
$\displaystyle f=\int\cos(x+y)dx+k(y)=c_1$
$\displaystyle f=\sin(x+y)+k(y)=c_1$ ..........(1)
3)
$\displaystyle N=\frac{\partial f}{\partial y}=3y^2+2y+\cos(x+y)$
from (1),
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=\cos(x+y)+k'(y)=3y^2+2y+\cos(x+y)$
$\displaystyle k'(y)=3y^2+2y$
$\displaystyle k(y)=\int(3y^2+2y)dy$
$\displaystyle k(y)=y^3+y^2+c_2$ .............(2)
4)
$\displaystyle \sin(x+y)+y^3+y^2=c_3$



17. 불완전 미분방정식 and 적분인자


이상 완전미분방정식,exact_DE 으로 옮기고... 이하도 옮길 것임 (나중에 분리)

CHK:
$\displaystyle df=M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$
이고
$\displaystyle \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$ 인 경우 완전미방이라고 했다.

$\displaystyle M=\frac{\partial f}{\partial x}\Rightarrow f=...+k(y)$
$\displaystyle N=\frac{\partial f}{\partial y}$
에서 $\displaystyle f=...+k(y)$ 부분을 $\displaystyle y$ 에 대해 편미분한 것 $\displaystyle \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)$ 을...가지고 $\displaystyle f$ 에 대한 정보를 구할 수 있었다.
이것이 완전미분방정식의 풀이였고,

$\displaystyle \frac{\partial M}{\partial y}\not=\frac{\partial N}{\partial x}$ 인 경우는 불완전미방이다.

ex.
$\displaystyle -ydx+xdy=0$
$\displaystyle M=\frac{\partial f}{\partial x}=-y \;\Rightarrow\; \frac{\partial M}{\partial y}=-1$
$\displaystyle N=\frac{\partial f}{\partial y}=x \;\Rightarrow\; \frac{\partial N}{\partial x}=1$
이렇게 같지 않아서 불완전이다.

처음 식 양변에 $\displaystyle \frac1{x^2}$ 를 곱한다. 이것을 적분인자,integrating_factor라고 한다. 그러면,
$\displaystyle -\underbrace{\frac{y}{x^2}}_{\uparrow\atop M}dx+\underbrace{\frac1{x}}_{\uparrow\atop N}dy=0$
$\displaystyle M=\frac{\partial f}{\partial x}=-\frac1{x^2} \;\Rightarrow\; \frac{\partial M}{\partial y}=-\frac1{x^2}$
$\displaystyle N=\frac{\partial f}{\partial y}=\frac1{x} \;\Rightarrow\; \frac{\partial N}{\partial x}=-\frac1{x^2}$
이렇게 $\displaystyle M,N$ 이 같게 된다. 즉 완전미방이 된다.

즉 불완전미방은 적분인자를 찾아 곱해서 완전미방으로 바꾸어서 푸는 것이다.
그럼 적분인자를 어떻게 찾을 것인가?

불완전미방
$\displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ 이 있고,
적분인자
$\displaystyle F(x,y)$ 가 있다.
원래 식에 곱하면,
$\displaystyle M(x,y)F(x,y)dx+N(x,y)F(x,y)dy=0$
이 식이 완전미방이기 위해서는,
$\displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(MF)=\frac{\partial}{\partial x}(NF)$
$\displaystyle \frac{\partial M}{\partial y}F+M\frac{\partial F}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}F+N\frac{\partial F}{\partial x}$
이어야 한다.

1)
먼저, $\displaystyle F(x,y)$ 가 아니라 $\displaystyle F(x)$ 즉 엑스만의 함수이면 어떨까?
$\displaystyle F(x,y)\to F(x)$

$\displaystyle \frac{\partial M}{\partial y}F=\frac{\partial N}{\partial x}F+N\frac{dF}{dx}$
$\displaystyle N\frac{dF}{dx}=F\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right)$
$\displaystyle \frac1{F}dF=\frac1{N}\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right)dx$
$\displaystyle \ln|F|=\int\frac1{N}\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right)dx$
$\displaystyle F=e^{\int\frac1{N}\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right)dx}$

2)
먼저, $\displaystyle F(x,y)$ 가 아니라 $\displaystyle F(y)$$\displaystyle y$ 만의 함수이면 어떨까?
$\displaystyle F(x,y)\to F(y)$

$\displaystyle \frac{\partial M}{\partial y}F+M\frac{dF}{dy}=\frac{\partial N}{\partial x}F$
$\displaystyle \frac1{F}dF=\frac1{M}\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right)dy$
$\displaystyle F=e^{\int\frac1{M}\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right)dy$

그렇다면, 적분인자가 $\displaystyle x$ 만의 함수인지 $\displaystyle y$ 만의 함수인지 어떻게 알까? 힌트는 위 식에서
1)의 경우
$\displaystyle \frac1{F}dF=\fbox{\frac1{N}\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right)}dx$
2)의 경우
$\displaystyle \frac1{F}dF=\fbox{\frac1{M}\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right)}dy$
의 네모친 부분에 있다. 위 식을 다시 쓰면
1)의 경우
$\displaystyle \frac{dF}{Fdx}=\frac1{N}\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right)$
2)의 경우
$\displaystyle \frac{dF}{Fdy}=\frac1{M}\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right)$
인데, 각각
$\displaystyle x$ 만의 함수
$\displaystyle y$ 만의 함수
로 되었다.

ex.
$\displaystyle 2ydx+3xdy=0$
sol.
$\displaystyle M=\frac{\partial f}{\partial x}=2y\Rightarrow \frac{\partial M}{\partial y}=2$
$\displaystyle N=\frac{\partial f}{\partial x}=3x\Rightarrow \frac{\partial N}{\partial x}=3$
이렇게 완전미방이 아님을 확인. 따라서 적분인자를 구해야 한다.
1)
$\displaystyle \frac1{F}\frac{dF}{dx}=\frac1{N}\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right)=\frac1{3x}\times(-1)$
$\displaystyle \frac1{F}dF=-\frac1{3x}dx\;\Rightarrow \ln|F|=-\frac13\ln|x|$
$\displaystyle F=x^{-\frac13}$
이렇게 적분인자를 구했다. 그러니 원 식에 곱한다.
$\displaystyle 2x^{-\frac13}ydx+3x^{\frac23}dy=0$
2)
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=MF=2x^{-\frac13}y$
$\displaystyle f=\int 2x^{-\frac13}ydy+k(y)=c_1$
$\displaystyle f=3x^{\frac23}y+k(y)=c_1$ .........(1)
3)
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=NF=3x^{\frac23}$
from (1),
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=3x^{\frac23}+k'(y)=3x^{\frac23}$
$\displaystyle k'(y)=0\;\Rightarrow\;k(y)=c_2$ ........(2)
4)
$\displaystyle 3x^{\frac23}y=c_3\;\Rightarrow\;x^2y^3=c$


ex.
$\displaystyle (4x^2+y^2-3x)dx+xydy=0$
sol.
$\displaystyle M=\frac{\partial f}{\partial x}=4x^2+y^2-3x\Rightarrow \frac{\partial M}{\partial y}=2y$
$\displaystyle N=\frac{\partial f}{\partial y}=xy\Rightarrow \frac{\partial N}{\partial x}=y$

1)
$\displaystyle \frac1{F}\frac{dF}{dx}=\frac1{N}\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right)=\frac1{xy}\cdot y=\frac1{x}$
$\displaystyle \frac1{F}dF=\frac1{x}dx \Rightarrow F=x$
적분인자를 구했고, 준식에 곱해주면
$\displaystyle (4x^3+xy^2-3x^2)dx+x^2ydy=0$
2)
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=MF=4x^3+xy^2-3x^2$
$\displaystyle f=x^4+\frac12x^2y^2-x^3+k(y)=c_1$ .........(1)
3)
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=NF=x^2y$
from (1),
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=x^2y+k'(y)=x^2y$
$\displaystyle k'(y)=0$
$\displaystyle k(y)=c_2$ ........(2)
4)
$\displaystyle x^4+\frac12x^2y^2-x^3=c$


ex.
$\displaystyle xydx+(3y+x^2)dy=0$
sol.
$\displaystyle M=\frac{\partial f}{\partial x}=xy\Rightarrow \frac{\partial M}{\partial y}=x$
$\displaystyle N=\frac{\partial f}{\partial y}=3y+x^2\Rightarrow \frac{\partial N}{\partial x}=2x$
1)
$\displaystyle \frac1F\frac{dF}{dy}=\frac1M\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right)=\frac1{xy}\cdot x=\frac1y$
$\displaystyle \frac1FdF=\frac1ydy\Rightarrow F=y$
적분인자가 y이고,
$\displaystyle xy^2dx+(3y^2+x^2y)dy=0$
2)
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=MF=xy^2$
$\displaystyle f=\frac12x^2y^2+k(y)=c_1$ .......(1)
3)
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=NF=3y^2+x^2y$
from (1),
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=x^2y+k'(y)=x^2y+3y^2$
$\displaystyle \frac{d}{dy}k(y)=3y^2$
$\displaystyle k(y)=y^3+c_2$ ........(2)
4)
$\displaystyle \frac12x^2y^2+y^3=C$


ex.
$\displaystyle (x^2+y^2)dx-2xydy=0$
$\displaystyle M=\frac{\partial f}{\partial x}=x^2+y^2\Rightarrow \frac{\partial M}{\partial y}=2y$
$\displaystyle N=\frac{\partial f}{\partial y}=-2xy\Rightarrow \frac{\partial N}{\partial x}=-2y$
불완전미방
$\displaystyle \frac1F\frac{dF}{dx}=\frac1N\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right)=-\frac1{2xy}\cdot 4y$
$\displaystyle \frac1F\frac{dF}{dx}=-\frac2x\Rightarrow \frac1FdF=-\frac2xdx$
$\displaystyle \ln|F|=-2\ln|x|$
$\displaystyle =\ln|x|^{-2}$
$\displaystyle =\ln\frac1{x^2}$
따라서 $\displaystyle F=\frac1{x^2}$
$\displaystyle (1+\frac{y^2}{x^2})dx-2\frac{y}xdy=0$
2)
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=MF=1+\frac{y^2}{x^2}$
$\displaystyle f=x-\frac{y^2}x+k(y)=c_1$
3)
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=NF=-2\frac{y}x$
from (1), (???)
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=-2\frac{y}x+k'(y)=-\frac{2y}{x}$
$\displaystyle k'(y)=0$
$\displaystyle k(y)=c_2$
4)
$\displaystyle x-\frac{y^2}x=c$

18. 선형미분방정식 linear DE


1계 선형미분방정식
$\displaystyle y'+p(x)y=r(x)$ : 표준형

1) $\displaystyle r(x)=0$ 이면
$\displaystyle y'+p(x)y=0$
: 제차선형미분방정식 (homogeneous)

2) $\displaystyle r(x)\ne0$ 이면
$\displaystyle y'+p(x)y=r(x)$
: 비제차선형미분방정식 (non-homogeneous)


Notes from 덕성여대 - 일계 선형방정식의 풀이법

$\displaystyle F(x,y,y')=0$$\displaystyle y,y'$ 에 대한 선형결합,linear_combination의 형태로.
$\displaystyle a_1(x)\cdot y'+a_2(x)\cdot y=g(x)$
이것을 다음과 같은 표준형(standard form)으로 바꿈.
$\displaystyle y'+p(x)\cdot y=f(x)$ ......(1)

이걸 이렇게 이항하면
$\displaystyle y'=f(x)-p(x)\cdot y$ : 방향장 형태

$\displaystyle f(x)=0$ 형태이면
$\displaystyle y'+p(x)y=0$ : (1)의 homogeneous equation ........(2)

만일
$\displaystyle y_p=y_p(x)$ 가 (1)의 해이고,
$\displaystyle y_c=y_c(x)$ 가 (2)의 해라면,
$\displaystyle y_p+y_c$ 는 (1)의 해이다.
증명: $\displaystyle f(x)=(y_p+y_c)'+P(x)\cdot(y_p+y_c)$
$\displaystyle =y_p'+y_c'+P(x)\cdot y_p+P(x)\cdot y_c$
$\displaystyle =(y_p'+P(x)\cdot y_p)+(y_c'+P(x)\cdot y_c)$
$\displaystyle =f(x)+0$

(2)는 변수분리형이다.
$\displaystyle y'+p(x)y=0$
$\displaystyle y'=-p(x)y$
$\displaystyle \frac{y'}{y}=-p(x)$
$\displaystyle \ln|y|=-\int p(x)dx$
$\displaystyle y=e^{-\int p(x)dx+c_1}=Ce^{-\int p(x)dx}=y_c$

(1)의 해를 (하나만이라도) 구하기 위해 variation of parameters(파라미터 변화법, 매개변수변환, 매개변수변화법)을 사용. (여기서 parameter는 변수.)
$\displaystyle y_p=u(x)\cdot y_c(x)$ 로 놓자.
그러면,
$\displaystyle (u\cdot y_c)'+p(x)\cdot (u\cdot y_c)=f(x)$
$\displaystyle f(x)=u'\cdot y_c+u\cdot y_c'+p(x)\cdot u\cdot y_c$
$\displaystyle =u'y_c+u(y_c'+p(x)y_c)$ 여기서 괄호안이 0이 된다.
$\displaystyle =u'y_c$
$\displaystyle u'y_c=f(x)$
$\displaystyle u'=\frac{f(x)}{y_c(x)}=e^{\int p(x)dx}\cdot f(x)$
$\displaystyle u(x)=\int e^{\int p(x)dx} f(x)dx$
(1)의 해 중 하나:
$\displaystyle y_p=y_c\cdot u=e^{-\int p(x)dx}\cdot \int e^{\int p(x)dx}f(x)dx$
(1)의 해를
$\displaystyle y_c+y_p=ce^{-\int p(x)dx}+e^{-\int p(x)dx}\int e^{\int p(x)dx} f(x)dx$

예. $\displaystyle y'-3y=6$
$\displaystyle p(x)=-3,f(x)=6$
$\displaystyle \int p(x)dx=-3x+C$ 여기서 상수를 0으로 둔다
해:
$\displaystyle ce^{3x}+e^{3x}\cdot\int e^{-3x}\cdot 6 dx$
$\displaystyle =ce^{3x}+e^{3x}\cdot 6 \cdot (-1/3) e^{-3x}$
$\displaystyle =ce^{3x}-2$

// 일게 선형방정식의 풀이법(계속)과 완전형 미분방정식 (sic)
다른 방법
$\displaystyle y'+p(x)y=f(x)$
양변에 $\displaystyle e^{\int p(x)dx}$ (중 하나) 를 곱한다.
$\displaystyle y'(x)e^{\int p(x)dx}+p(x)e^{\int p(x)dx}y=f(x)e^{\int p(x)dx}$
왼쪽은 미분 형태이므로
$\displaystyle \left(e^{\int p(x)dx}\cdot y\right)'=f(x)e^{\int p(x)dx}$
양변을 적분하면
$\displaystyle e^{\int p(x)dx}\cdot y=\int f(x)e^{\int p(x)dx}dx+C$
$\displaystyle y=Ce^{-\int p(x)dx}+e^{-\int p(x)dx}\cdot\int f(x)e^{\int p(x)dx}dx$

여기서 $\displaystyle e^{\int p(x)dx}$integrating factor라고 한다.

예) $\displaystyle y'-3y=6$ 을 다시.
$\displaystyle p(x)=-3$
그러면 integrating factor는
$\displaystyle e^{\int p(x)dx}=e^{\int(-3)dx}=e^{-3x+C}$ 등 중에서 하나만 고르면 되는데, $\displaystyle e^{-3x}$ 를 고른다.
그러면
$\displaystyle e^{-3x}y'-3e^{-3x}y=6e^{-3x}$
좌변이 미분형태이므로
$\displaystyle (e^{-3x}y)'=6e^{-3x}$
양변 적분하면
$\displaystyle e^{-3x}y=\int 6e^{-3x}dx=6(-\frac13)e^{-3x}+C$
$\displaystyle y=Ce^{3x}-2$

예) $\displaystyle (x^2-9)y'+xy=0$
$\displaystyle y'+\frac{x}{x^2-9}\cdot y=0$
적분인자: $\displaystyle e^{\int p(x)dx}=e^{\int\frac{x}{x^2-9}dx}$
$\displaystyle u=x^2-9,du=2xdx$ 로 치환하면
$\displaystyle \int\frac{x}{x^2-9}dx=\frac12\int\frac1udu=\frac12\ln|u|+C=\frac12\ln|x^2-9|+C$
다시 집어넣으면 (여기서 C는 0으로 고를 수 있다.)
$\displaystyle e^{\frac12\ln|x^2-9|}=e^{\ln\sqrt{|x^2-9 | }}=\sqrt{|x^2-9|}=\sqrt{x^2-9}$ (일단 한가지 경우만 생각)

원래 식은
$\displaystyle \sqrt{x^2-9}y'+\sqrt{x^2-9}\cdot \frac{x}{x^2-9}y=0$
$\displaystyle \sqrt{x^2-9}y=\int0dx=C$
$\displaystyle y=\frac{C}{\sqrt{x^2-9}}$

그리고 x = -3, 3은 특이점임.

결론: 1계선형미방은 잘 풀린다. 그 일반해는 1-parameter family를 이룬다.

19. 완전형 Exact Equations

덕성여대 Exact Equations
47:40

$\displaystyle y'=f(x,y)$
$\displaystyle \frac{dy}{dx}=f(x,y)$
$\displaystyle dy=f(x,y)dx$
$\displaystyle f(x,y)dx-dy=0$
이렇게 쓸 수 있다. 아예 더 일반적으로,
$\displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$
$\displaystyle y'=-\frac{M(x,y)}{N(x,y)}$
이런 일계미방이 어떤 2변수함수 $\displaystyle z=f(x,y)$전미분,total_differential이 될 때, 이 방정식을 exact하다고 한다.

예) $\displaystyle ydx+xdy=0,\;y'=-\frac{y}{x}$


덕성여대 동영상 4. 완전형 미분방정식

$\displaystyle xydx+(2x^2+3y^2-20)dy=0$
$\displaystyle M=xy,N=2x^2+3y^2-20$

$\displaystyle \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$ 인가?
$\displaystyle x\ne 4x$ 이므로 아니다.
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=M,\frac{\partial f}{\partial y}=N$ 을 만족하는 2변수 $\displaystyle f(x,y)$ 가 존재하지 않는다.
따라서 이 DE는 exact하지 않다.

예. $\displaystyle x^2y^3dx+x^3y^2dy=0$
$\displaystyle \frac{\partial M}{\partial y}=3x^2y^2$
$\displaystyle \frac{\partial N}{\partial x}=3x^2y^2$ 따라서 exact.
$\displaystyle \to f(x,y)$$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=M,\frac{\partial f}{\partial y}=N$ 을 만족한다고 가정하자.
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=x^2y^3 \;\to\; f(x,y)=\int x^2y^3dx=\frac13x^3y^3+g(y)$
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=x^3y^2+g'(y)$
위 둘이 같으므로
$\displaystyle g'(y)=0$
$\displaystyle g(y)=C$
$\displaystyle \to f(x,y)=\frac13x^3y^3+C$ , C는 상수
해: $\displaystyle \frac13x^3y^3=C$ , C는 상수

ex. $\displaystyle 2xydx+(x^2-1)dy=0$
$\displaystyle \frac{\partial M}{\partial y}=2x,\frac{\partial N}{\partial x}=2x$
$\displaystyle f$$\displaystyle \partial f/\partial x=M,\partial f/\partial y=N$ 을 만족한다고 하자.
$\displaystyle f=\textstyle\int 2xydx=x^2y+g(y)$
$\displaystyle \to x^2-1=\frac{\partial f}{\partial y}=x^2+g'(y)$
$\displaystyle \to g'(y)=-1\to g(y)=-y+C$
$\displaystyle \to f=x^2y-y+C$
해: $\displaystyle x^2y-y=C,$ C: 상수
or $\displaystyle y=\frac{C}{x^2-1},$ C는 상수

만일 방정식 $\displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ 이 exact하지 않다면, 강제로 exact하게 만들 수 있다.

$\displaystyle \mu(x,y)M(x,y)dx+\mu(x,y)N(x,y)dy=0$ 가 언제 exact하게 될까?
$\displaystyle \Leftrightarrow \frac{\partial}{\partial y}(\mu M)=\frac{\partial}{\partial x}(\mu N)$

가정: $\displaystyle \mu$$\displaystyle x$ 에만 의존. $\displaystyle \mu=\mu(x)$

$\displaystyle \mu\cdot\frac{\partial M}{\partial y}=\mu'\cdot N+\mu\cdot\frac{\partial N}{\partial x}$
$\displaystyle N\cdot \mu'+\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right)\mu=0$
이러면 $\displaystyle \mu$ 에 대한 1계 선형미분방정식 형태가 된다. (+homogeneous)
$\displaystyle \mu'=-\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{N}\cdot\mu$
좌변은 $\displaystyle \frac{d\mu}{dx}$ 이고, 우변을 편미분 notation으로 쓰면
$\displaystyle \frac{d\mu}{dx}=-\frac{N_x-M_y}{N}\cdot\mu$
$\displaystyle \frac{d\mu}{\mu}=-\frac{N_x-M_y}{N}dx$
$\displaystyle \int\frac{d\mu}{\mu}=-\int\frac{N_x-M_y}{N}dx=\ln|\mu|$
$\displaystyle |\mu|=e^{-\int\frac{N_x-M_y}{N}dx}$
$\displaystyle \mu=C\cdot e^{-\int\frac{N_x-M_y}Ndx}$

ex.
$\displaystyle xydx+(2x^2+3y^2-20)dy=0$
$\displaystyle N_x=4x,M_y=x \;\to\; \frac{N_x-M_y}{N}=\frac{4x-x}{2x^2+3y^2-20}$
$\displaystyle \to\mu$$\displaystyle x$ 에만 의존하는 함수로 잡을 수 없다.
$\displaystyle \to\mu$$\displaystyle y$ 에만 의존하는 함수로 잡아보자. $\displaystyle \mu=\mu(y)$

$\displaystyle \mu=Ce^{-\int\frac{M_y-N_x}{M}dy}$
$\displaystyle M_y=x,N_x=4x \;\to\; \frac{M_y-N_x}M=\frac{x-4x}{xy}=-\frac3y$
$\displaystyle \to \mu=Ce^{-\int(-\frac3y)dy}=Ce^{3\ln|y|}$
$\displaystyle \to e^{3\ln|y|}=e^{\ln|y|^3}=|y|^3$
$\displaystyle \to \mu=y^3$

$\displaystyle y^3xydx+y^3(2x^2+3y^2-20)dy=0$
이러면
$\displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(xy^4)=4xy^3,$
$\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(y^3(2x^2+3y^2-20))=4xy^3$
같게 됨.
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=xy^4,\frac{\partial f}{\partial y}=y^3(2x^2+3y^2-20)$
를 만족하는 $\displaystyle f(x,y)$ 를 구하자.

$\displaystyle f=\frac12x^2y^4+g(y)$
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=2x^2y^3+g'(y)$
$\displaystyle g'(y)=3y^5-20y^3$
$\displaystyle g(y)=\frac12y^6-5y^4+C$
$\displaystyle f=\frac12x^2y^4+\frac12y^6-5y^4+C$
그래서 해는
$\displaystyle \frac12x^2y^4+\frac12y^6-5y^4=C$


20. 치환형 Substitution

덕성여대 - 치환으로 해결되는 방정식들, 초기치문제

일단 homogeneous의 개념을 확장.

정의.
이변수함수 $\displaystyle f(x,y)$ 가 homogeneous of degree $\displaystyle n$
iff
$\displaystyle f(tx,ty)=t^n\cdot f(x,y),\quad\forall x,y,t$

예.
$\displaystyle f(x,y)=x^2+y^2$ : 2차 homogeneous
$\displaystyle f(x,y)=x^2+2xy$ : 마찬가지
$\displaystyle f(x,y)=x^3+2xy^2$ : 3차 homogeneous? CHK
$\displaystyle f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ : 1차 homogeneous
$\displaystyle f(x,y)=3$ : 0차 homogeneous
$\displaystyle f(x,y)=\frac{x^2-y^2}{x^3+2xy^2}$ : -1차 homogeneous
$\displaystyle f(x,y)=\sqrt[3]{x^2+y^2}$ : 2/3차 homogeneous
그러니까 x와 y 두 문자에 대해서 몇차인가 그것.

정의.
$\displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ 이 homogeneous of degree n
iff
$\displaystyle M(),N()$ 이 homogeneous of degree n.

예. $\displaystyle (x^2+y^2)dx+(x^2-xy)dy=0$
새로운 변수 u를 도입.
$\displaystyle y=ux,u(x)=\frac{y(x)}{x}$
$\displaystyle dy=xdu+udx$
$\displaystyle (x^2+u^2x^2)dx+(x^2-xux)(xdu+udx)=0$
$\displaystyle (x^2+u^2x^2+ux^2-u^2x^2)dx+x^3(1-u)du=0$
$\displaystyle (1+u)dx+x(1-u)du=0$
$\displaystyle \frac{1-u}{1+u}du=-\frac1{x}dx$
여기서, $\displaystyle \frac{1-u}{1+u}=\frac{(-1-u)+2}{1+u}=-1+\frac2{u+1}$
양변 적분
$\displaystyle -u+2\ln|u+1|=-\ln|x|+C$
이렇게 x와 u의 관계가 답이다. 또는 $\displaystyle y=ux$ 이므로
$\displaystyle -\frac{y}x+2\ln|\frac{y}x+1|=-\ln|x|+C$


Bernoulli's Equation
베르누이미분방정식

$\displaystyle \frac{dy}{dx}+p(x)\cdot y=f(x)\cdot y^n\quad\quad (n=1,2,3,\cdots)$

치환:
$\displaystyle u=y^{1-n}=\frac1{y^{n-1}}$

예:
$\displaystyle x\frac{dy}{dx}+y=x^2y^2$
$\displaystyle \frac{dy}{dx}+\frac1xy=xy^2$
$\displaystyle u=y^{1-2}=\frac1y,y=\frac1u$
$\displaystyle dy=-\frac1{u^2}du$
$\displaystyle -\frac1{u^2}\frac{du}{dx}+\frac1x\frac1u=x\frac1{u^2}$
$\displaystyle \frac{du}{dx}-\frac{u}x=-x$
$\displaystyle \frac{du}{dx}-\frac1xu=-x$
이렇게 일계선형 형식으로 된다.
integrating factor:
$\displaystyle e^{\int(-\frac1x)dx}=e^{-\ln|x|}=e^{\ln(\frac{1}{|x|})}=\frac1{|x|}$ (C는 0으로 날렸음.)
$\displaystyle \frac1x\frac{du}{dx}-\frac1{x^2}u=-1$
$\displaystyle \frac{u}{x}=-x+C$
$\displaystyle \frac1{xy}=-x+C$
양함수꼴로 하면
$\displaystyle y=\frac1{x(-x+C)}$

21. linear DEs of higher order (고계 선형 미방)

덕성여대 - 5. 고계도 선형미분방정식의 성질

$\displaystyle a_n(x)y^{(n)}(x)+\cdots+a_1(x)y'(x)+a_0(x)y(x)=f(x)$
  • 일반적으로 잘 안 풀림 $\displaystyle (n\ge2)$
  • 상수계수의 경우 거의 다 풀림
초기조건(initial condition, IC):
$\displaystyle y(x_0)=y_0,y'(x_0)=y_0',\cdots,y^{(n-1)}(x_0)=y_0^{(n-1)}$

정리:
  • 위 식에서 $\displaystyle a_0(x),\cdots,a_n(x),f(x)$ 가 구간 $\displaystyle I$ 에서 연속이고, $\displaystyle a_n(x)$$\displaystyle I$ 에서 0의 값을 가지지 않는다고 가정. ( $\displaystyle a_n(x)$ never vanish on $\displaystyle I$ )
  • $\displaystyle x_0\in I$
⇒ (위 식 + 위의 초기 조건)은 유일한 해를 가진다.


Boundary Value Problem 경계치 문제
  • $\displaystyle y(a)=y_0,\; y(b)=y_1\; (a\ne b)$
  • $\displaystyle y'(a)=y_0',\; y'(b)=y_1'$
    : Neumann condition
  • $\displaystyle y(a)=y_0,\;y'(b)=y_1'$
    : Mixed condition

BVP는 해를 가지지 않을 수도, 하나만 가질 수도, 많이 가질 수도 있다.

예) $\displaystyle y''+16y=0$
일반해: $\displaystyle y=c_1\cos 4x+c_2\sin 4x,\;\; c_1,c_2\in\mathbb{R}$
BC: $\displaystyle y(0)=0,\,y(\frac{\pi}2)=0$
$\displaystyle c_1=0,\,c_1=0$
이 BVP의 해: $\displaystyle y=c_2\sin 4x$
1-parameter family를 이룬다.

BC: $\displaystyle y(0)=0,\;y(\frac{\pi}2)=1$
$\displaystyle c_1\cdot 1+c_2\cdot 0=0$
$\displaystyle c_1\cdot 1+c_2\cdot 0=1$ so 불가능.
이 BVP의 해는 없다.


Superposition Principle for Linear DE
선형미분방정식의 VG:중첩원리,superposition_principle

$\displaystyle a_n(x)y^{(n)}(x)+\cdots+a_1(x)y'(x)+a_0(x)y(x)=f(x)$ : inhomogeneous (N)
$\displaystyle a_n(x)y^{(n)}(x)+\cdots+a_1(x)y'(x)+a_0(x)y(x)=0$ : homogeneous (H)

정리. (homogeneous linear DE의 중첩원리)
$\displaystyle y_1,\cdots,y_k:$ (H)의 해들이라고 하자.
$\displaystyle \Rightarrow\;y=c_1y_1+\cdots+c_ky_k$ (즉 해들의 선형결합)은 모든 $\displaystyle c_1,\cdots,c_k\in\mathbb{R}$ 에 대하여 (H)의 해가 된다.

증명: y를 대입하면 $\displaystyle c_1\cdot 0+\cdots+c_k\cdot 0 = 0$ 이 됨.

y가 (H)의 해 => cy도 해가 됨
y1,y2가 (H)의 해 => y1+y2도 해가 됨
특히 0=0y가 (H)의 해 => 자명해(trivial solution)

(H)의 해집합: VG:벡터공간,vector_space

예)
$\displaystyle x^3y'''-2xy'+4y=0$ : 선형 homogeneous eq.
알고 있는 해: $\displaystyle y_1=x^2,y_2=x\ln x,y_3=x^2\ln x$
$\displaystyle \rightarrow c_1x^2+c_2x\ln x+c_3x^2\ln x$
사실 이게 해의 전부이다. (일반해라고 한다. general solution)
i.e.
$\displaystyle \{y_1,y_2,y_3\}$ 는 해집합의 VG:기저,basis가 된다.


Def.
$\displaystyle f_1(x),f_2(x),\cdots,f_n(x):$ 구간 $\displaystyle I$ 에서 정의된 함수들
$\displaystyle \rightarrow f_1,\cdots,f_n$$\displaystyle I$ 에서 선형종속(linearly dependent, =일차종속)
$\displaystyle \Leftrightarrow$ (정의)
$\displaystyle \exists c_1,\cdots,c_n$ (0이 아닌 것이 적어도 하나는 있어야 한다)
such that $\displaystyle c_1f_1(x)+c_2f_2(x)+\cdots+c_nf_n(x)\equ 0$ ( $\displaystyle I$ 에서 )

예)
$\displaystyle f_1(x)=\sqrt{x}+5$
$\displaystyle f_2(x)=\sqrt{x}+5x$
$\displaystyle f_3(x)=x-1$
$\displaystyle f_4(x)=x^4$
이걸로 0을 만들 수 있을까?
$\displaystyle 1\cdot(\sqrt{x}+5)+(-1)\cdot(\sqrt{x}+5x)+5\cdot(x-1)+0\cdot x^4=0$
Yes. 선형종속.
즉 선형종속임을 확인하려면 적절히 집어넣어서 0이 되는지 보면 된다.

Def.
$\displaystyle f_1,\cdots,f_n$ : 구간 $\displaystyle I$ 에서 정의된 함수들
$\displaystyle f_1,\cdots,f_n$ : $\displaystyle I$ 에서 선형독립(linearly independent, =일차독립)
$\displaystyle \Leftrightarrow$ (정의)
$\displaystyle f_1,\cdots,f_n$$\displaystyle I$ 에서 선형종속이 아니다.
$\displaystyle \Leftrightarrow$
$\displaystyle \forall c_1,\cdots,c_n,$
$\displaystyle c_1f_1(x)+\cdots+c_nf_n(x)\not\equ 0$ ( $\displaystyle I$ 에서 )
$\displaystyle \Leftrightarrow$
$\displaystyle c_1f_1(x)+\cdots+c_nf_n(x)\equ 0 \;\Rightarrow\; c_1=c_2=\cdots=c_n=0$

예)
$\displaystyle f_x(x)=1,\quad f_2(x)=x,\quad f_3(x)=x^2$
$\displaystyle c_1\cdot 1+c_2\cdot x+c_3\cdot x^2\equ 0$ 으로 가정.
https://i.imgur.com/YfUUGYU.png

따라서 선형독립.


Wronskian : 일종의 판별식/행렬식?
론스키안, 론스키언, 론스키 행렬식, 브론스키 행렬식

$\displaystyle f_1,\cdots,f_n$ : 구간 $\displaystyle I$ 에서 정의된 함수들, n-1번 미분가능. 일 때
Wronskian (determinant) of $\displaystyle f_1,\cdots,f_n$
$\displaystyle W(f_1,\cdots,f_n)(x):=\det\begin{bmatrix}f_1(x)&f_2(x)&\cdots&f_n(x)\\f_1'(x)&f_2'(x)&\cdots&f_n'(x)\\\vdots&\vdots&&\vdots\\f^{(n-1)}(x)&f^{(n-1)}_2(x)&\cdots&f^{(n-1)}_n(x)\end{bmatrix}$

정리:
만일 $\displaystyle W(f_1,\cdots,f_n)\not\equ 0$ 이면 $\displaystyle f_1,\cdots,f_n$ : 선형독립.


영상 6. n계선형 homogeneous 방정식의 fundamental set of solutions

n-th homogeneous 선형 미분방정식:
$\displaystyle a_n(x)y^{(n)}+\cdots+a_1(x)y'+a_0(x)y=0$ ........(H)

정리
$\displaystyle y_1,\cdots,y_n:$ 구간 $\displaystyle I$ 에서 (H)의 해들.

$\displaystyle y_1,\cdots,y_n:$ 선형독립
$\displaystyle \Leftrightarrow$
$\displaystyle W(x):=W(y_1,\cdots,y_n)(x)\not\equ 0$

del {

증명
$\displaystyle (\Leftarrow)$ 는 전시간(위의) 정리.
$\displaystyle (\Rightarrow)$ 의 증명.

가정: $\displaystyle y_1,\ldots,y_n$ 이 선형독립
보이고 싶은 것: $\displaystyle \forall x\in I,\,W(x)\ne 0$
어떤 $\displaystyle x_0\in I$ 에서 $\displaystyle W(x_0)=0$ 이었다고 가정하자.
$\displaystyle \det\begin{bmatrix}y_1(x_0)&y_2(x_0)&\cdots&y_n(x_0)\\y_1'(x_0)&y_2'(x_0)&\cdots&y_n'(x_0)\\\vdots& & &\vdots\\y_1^{(n-1)}(x_0)&y_2^{(n-1)}(x_0)&\cdots&y_n^{(n-1)}(x_0)\end{bmatrix}=W(x_0)=0$
$\displaystyle \Leftrightarrow$
$\displaystyle \begin{bmatrix}y_1(x_0)&y_2(x_0)&\cdots&y_n(x_0)\\y_1'(x_0)&y_2'(x_0)&\cdots&y_n'(x_0)\\\vdots& & &\vdots\\y_1^{(n-1)}(x_0)&y_2^{(n-1)}(x_0)&\cdots&y_n^{(n-1)}(x_0)\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c_1\\c_2\\ \vdots \\ c_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\ \vdots \\ 0\end{bmatrix}$
의 해 $\displaystyle (c_1,\cdots,c_n)$ 이 무수히 많다.
$\displaystyle \Leftrightarrow$
전부 0은 아닌 $\displaystyle c_1,\cdots,c_n$ 들이 존재해서 이 방정식의 해가 된다.

새로운 함수 $\displaystyle y_*(x):=c_1y_1(x)+\cdots+c_ny_n(x)$ 를 정의 ( $\displaystyle I$ 에서 )
그러면 (H)의 중첩원리에 의해 $\displaystyle y_*:$ (H)의 해

$\displaystyle y_*(x_0)=c_1y_1(x_0)+\cdots+c_ny_n(x_0)=0$
$\displaystyle y_*'(x_0)=c_1y_1'(x_0)+\cdots+c_ny_n'(x_0)=0$
$\displaystyle \vdots$
$\displaystyle y_*^{(n-1)}(x_0)=c_1y_1^{(n-1)}(x_0)+\cdots+c_ny_n^{(n-1)}(x_0)=0$

이하생략

아무튼 어쩌구저쩌구 해서 증명가능

}

정의 (Fundamental Set of Solutions) (F.S.S.)
(H)의 n개의 선형독립인 해 $\displaystyle y_1,\cdots,y_n$ :
(H)의 fundamental set of solutions라고 부른다.

정리 (Existence of F.S.S.)
증명: $\displaystyle x_0\in I$ 를 잡자.
$\displaystyle y_1:$
초기치문제 $\displaystyle H(x)$
$\displaystyle y_1(x_0)=1,\,y_1'(x_0)=0,\,\cdots,\,y_1^{(n-1)}(x_0)=0$ 의 유일한 해.
$\displaystyle y_2:$
초기치문제 $\displaystyle H(x)$
$\displaystyle y_2(x_0)=0,\,y_2'(x_0)=1,\,y_2''(x_0)=0,\,\cdots,\,y_2^{(n-1)}(x_0)=0$ 의 해.
...
$\displaystyle y_n:$
초기치문제 $\displaystyle H(x)$
$\displaystyle y_1(x_0)=0,\,y_1'(x_0)=0,\,\cdots,\,y_1^{(n-1)}(x_0)=1$ 의 해.

$\displaystyle y_1,\cdots,y_n$ 이 선형독립이라는 것을 보이면 됨.
$\displaystyle W(x):=W(y_1,\cdots,y_n)(x)$ 라고 놓자.
$\displaystyle W(x_0)=\det\begin{pmatrix}y_1(x_0)&\cdots&y_n(x_0)\\\vdots&&\vdots\\y_1^{(n-1)}(x_0)&\cdots&y_n^{(n-1)}(x_0)\end{pmatrix}$
$\displaystyle =\det\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots\\0&1&0&&\\0&0&1&&\\\vdots&\vdots&&\\&&\cdots&1\end{pmatrix}$
$\displaystyle =1\ne0$
$\displaystyle y_1,\cdots,y_n$ : 선형독립
$\displaystyle y_1,\cdots,y_n$ : F.S.S.

dim((H)의 해집합) ≥ n

정리) Sufficiency of F.S.S.
$\displaystyle y_1,\cdots,y_n$ : FSS of (H) (I에서)
Y: I에서 (H)의 아무 해 하나라고 하자.
$\displaystyle \Rightarrow Y(x)=c_1y_1(x)+\cdots+c_ny_n(x),\quad \forall x\in I$
(어떤 $\displaystyle c_1,\cdots,c_n$ 에 대해)

증명)
(이건 안 적음)

동영상 덕성여대 inhomogeneous 선형방정식의 중첩원리와 일반해



23. Cmp

차분방정식
difference equation ?
{
rel
recurrence relation 점화관계
difference 차 차이 차분 ..
}